WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Vergelijkingen

Ik vond 'polynoom'.
Maar wat is een 'polynoomring'?
Mariek
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 5 juli 2004

Antwoord

Hallo Marieke,

een polynoomring is een ring van polynomen.

Aan dit korte antwoord zul je wel niet zoveel hebben, want wat is nu een ring? Welnu, in de wiskunde (in het bijzonder bij "Algebra") is het gebruikelijk om de algemene eigenschappen van abstracte structuren te bekijken.

De meest eenvoudige structuur is een verzameling. Zo eenvoudig dat ik het eigenlijk niet eens uit kan leggen: gewoon een stel elementen die bij elkaar horen en waar je verder niets over weet.

De volgende stap is een groep. Dat is een verzameling waarbij er ook is gedefinieerd wat het betekent om elementen met elkaar te vermenigvuldigen. Daarbij worden wel wat eisen gesteld, maar nog zo weinig dat er een heleboel meer zaken onder kunnen vallen dan alleen verzamelingen van getallen. Zo hoeft het niet perse zo te zijn dat a·b=b·a (als dat wel zo is dan noemen we de vermenigvuldiging "commutatief").

Een ring heeft nog iets meer structuur. Daarop moet zowel optellen als vermenigvuldigen gedefinieerd zijn. Er moeten dan ook eigenschappen gelden zoals bijvoorbeeld a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c), a·(b+c)=a·b+a·c en $1 "a: 1·a=a·1=a. Dit begint al meer op de eigenschappen die we van getallen kennen te lijken, al hoeft hier vermenigvulding nog steeds niet perse commutatief te zijn (als dat wel zo is dan heet het een commutatieve ring). Een belangrijk verschil is echter dat we niet hoeven kunnen delen. Er mogen dus elementen a zijn waarvoor "1/a" niet in de verzameling zit (ingewikkelder gezegd: er is geen b waarvoor a·b=1). Een bekend voorbeeld is de verzameling van gehele getallen. Met de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging is dat een ring; het product van twee getallen is weer een geheel getal, maar de inverse van een geheel getal zal meestal een breuk zijn en zit dus niet in . Maar misschien raad je het nu al: ook de verzameling van alle polynomen vormen een ring. De som van twee polynomen is weer een polynoom en ook het product van twee polynomen. Maar als je wilt delen door een polynoom, dan kom je niet weer op een polynoom uit. Dit noemen we dus een polynoomring. Er zijn er nog verschillende van, afhankelijk van waaruit de coefficienten van de polynomen genomen mogen worden: de polynoomring [x] bestaat uit polynomen met gehele getallen als coefficienten, terwijl in [x] alle reele getallen als coefficienten mogen voorkomen.

Merk op dat je tenslotte ook nog een lichaam hebt: daarin moet je kunnen delen: voor elk element a moet de inverse 1/a ook bestaan. Voorbeelden zijn de rationale getallen en de reele getallen .
Ik hoop je hiermee antwoord op je vraag te hebben gegeven,

Guido Terra

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 6 juli 2004