WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Radiaal construeren

Één radiaal is de hoek die 2 stralen maken waarvan de cirkelboog evenlang is als de straal.
Is het nu mogelijk om een radiaal te construeren of moet je een beetje prutsen met een gradenboog (57,2 graden) om de juiste lengte op de cirkelboog te bepalen?

Perry
Iets anders - donderdag 1 juli 2004

Antwoord

Beste Perry,

Één radiaal is omgerekend in graden exact ^180°/_p, we hebben door p gedeeld. En p is irrationaal én transcendent, d.w.z. er zijn oneindig veel decimalen (stopt nooit) en er zit geen patroon in, zoals bij ¹/₃ = 0,333333... wel het geval is bijvoorbeeld. Trouwens, al zou ^180°/_p exact gelijk zijn aan 57,2957795130823208767981548141° hoe zou je die hoek exact willen tekenen? Er is nog een andere manier om het duidelijk te maken.

Laten we de bovenkant van een cirkel met straal 1 tekenen (andere cirkels zijn een vergroting of verkleining van deze cirkel). Eerst het functievoorschrift opstellen. Kies maar eens één willekeurig punt P op de cirkelboog. Teken de loodrechte projectie op de x-as (paarse y) (er is nu een rechthoekige driehoek gevormd als je vanuit het snijpunt van de loodlijn vanuit het punt op de x-as naar de oorsprong gaat (paarse x), en vanuit de oorsprong een lijnstuk naar het punt tekent (paarse 1)). Bekijk het onderstaande plaatje voor verduidelijking.

In die rechthoekige driehoek geldt de stelling van Pythagoras 1 = y² + x² Þ y² = 1 - x² en aangezien wij het positieve gedeelte (boven de x-as) hebben gekozen geldt dat y = Ö(1 - x²) de functie van de cirkelboog is.

(*) Veronderstel dat de x-coördinaat van het punt tussen de 0 en de 1 ligt. Er bestaat een formule die m.b.v. integreren de lengte tussen 2 punten berekent. Die formule luidt _aò^bÖ(1+(f'(x))²) dx waarbij a en b de x-coördinaten van de 2 punten (a b) en f'(x) de afgeleide van de functie waar de twee punten op liggen.
Laten we een punt A kiezen (met de afspraak (*)) en als eindpunt Q(1,0) willekeurig gekozen, (de x-coördinaat van A moet wel tussen de 0 en de 1 liggen, want de afstand van (0,1) tot (1,0) is ¼p en dat is al meer dan 1, laat staan dat A een negatieve x-coördinaat heeft).
f(x) = Ö(1-x²) Þ f'(x) = ^-x/_Ö(1-x²), dus (f'(x))² = ^x²/_1-x²
Þ lengte tussen A en Q is _Aò¹Ö(1+^x²/_1-x²).
I) Deze integraal heb ik m.b.v. Maple opgelost .
Gevraagd is nu: als bekend is dat de lengte 1 is, wat moet de x-coördinaat van A dan zijn? Oftewel in de blauwe functie geldt voor welke a dat g(a)=1?

Er is dus een complexe oplossing, geen reële. Maar het complexe deel is zo klein dat je het best kunt verwaarlozen en met het reële deel tevreden moet zijn, maar let wel: de afstand op de cirkelboog van A(0,5403023060;0,8414709847) tot Q(1,0) is niet exact 1 (het exacte punt A bestaat niet in het reële vlak), net zoals de hoek niet exact 57,29577951° is.

II) Het kon trouwens ook zo
Dit had je ook kunnen bereiken door in de rechthoekige driehoek de cosinus van 1 radiaal te nemen (paarse x) en de sinus van 1 radiaal (paarse y). Maar de cos(1) en de sin(1) kunnen alleen worden benaderd, en dan heb je weer hetzelfde probleem: net zoals je de hoek (indien hij eindig zou zijn) niet precies kunt tekenen, kun je het punt (cos(1),sin(1)) (indien eindig) moeilijk tekenen, hoe teken je één miljardste millimeter precies bijvoorbeeld? Maar al zou je dat kunnen, dan komen er nog oneindig veel decimalen waardoor je het punt gewoonweg niet precies kunt tekenen.
Zie voor meer informatie Cosinus Mathworld en Sinus Mathworld, daar staat ook de oneindige reeks van sin(x) en cos(x).

Groetjes,

Davy.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 3 juli 2004