WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Vlakken en vectorvoorstellingen !!

Hoi,

Ik loop een beetje vast op deze opgave. Hieronder de beschrijving van de opgave.

Gegeven zijn de vlakken:

V1 : 3x-2y+7z=123
V2 : 5x+2y-5z=25
V3 : -3x+2y-7z=30

a. Geef een vectorvoorstelling voor het vlak V2. Geef exacte kentallen!

b. Bepaal de loodrechte afstand d tussen de vlakken V1 en V3. Geef exacte waarde!

c. Bepaal een vectorvoorstelling van de snijlijn van de vlakken V2 en V3. Geef exacte kentallen !

Ik nam bij a aan dat (5,2-5) de normaalvector was, maar verder kwam ik ook niet !
Mauric
Student hbo - woensdag 23 juni 2004

Antwoord

a) De normaalvector van V2 is inderdaad (5 2 -5) (eigenlijk moeten deze getallen onderelkaar staan). De richtingsvectoren van V2 staan loodrecht op de normaalvector, dus het inproduct is 0. Je kunt nu een trucje toepassen: kies één van de getallen van de normaalvector 0 en wissel de andere twee van plaats. Daarna vermenigvuldig je ééntje (niet de 0) met -1. Dus kies bij (5 2 -5) ééntje 0, bijvoorbeeld 2. Dan heb je (5 0 -5), wissel de andere twee (vijf en -vijf) van plaats (-5 0 5) en vermenigvuldig eentje met -1 (laten we -5 kiezen) dan krijg je (5 0 5).
Dat is al een richtingsvector, maar we moeten er twee hebben, dus kiezen we nu een ander getal 0, bijvoorbeeld de -5, dan heb je (5 2 0) wissel de 2 en de 5 van plaats (2 5 0) en vermenigvuldig eentje met -1, dan krijg je (-2 5 0) bijvoorbeeld en dat is je andere richtingsvector. Maar we hebben ook nog een steunvector nodig, die kun je vinden door een geschikte x, y en z te kiezen. Bijvoorbeeld x=1, y=0 en z=-4. Dus wordt de vectorvoorstelling van het vlak V2 .

b) Vermenigvuldig V3 eens met -1, dan krijg je 3x-2y+7z=-30. Dus V1 en V3 hebben dezelfde normaalvector, maar aangezien 123 ¹ -30 vallen ze niet samen, maar zijn ze evenwijdig. Hoe bepaal je de afstand tussen twee evenwijdige vlakken? Door één punt op één van de twee vlakken te kiezen, een lijn door dat punt met richtingsvector de normaalvector op te stellen. Het snijpunt met het andere vlak bepalen. Dan heb je twee coördinaten (namelijk het punt dat jezelf op een vlak gekozen hebt, en het snijpunt met de lijn en het vlak) en dan is de afstand bepalen tussen die punten niet zo moeilijk.

Kies bijvoorbeeld op V3 het punt P(-10,0,0), de normaalvector is (3 -2 7), dus de vergelijking van de lijn door P is . Ingevuld in de vergelijking van het vlak van V1 (want de lijn snijdt dit vlak) wordt dit 3(-10+3l)-2(-2l)+7(7l)=123 Û l = ¹⁵³/₆₂. Invullen in de lijnvoorstelling levert het snijpunt (-¹⁶¹/₆₂,-¹⁵³/₃₁,¹⁰⁷¹/₆₂).
Nu de afstand tussen (-10,0,0) en (-¹⁶¹/₆₂,-¹⁵³/₃₁,¹⁰⁷¹/₆₂) bepalen, dat kun je vast en zeker zelf berekenen (indien het niet lukt, bekijk dan deze vraag eens).

c) Dit kun je oplossen door van een vergelijking van het vlak een vectorvoorstelling te maken, en deze in te vullen in de andere vergelijking van het vlak. Je kunt dan mu uitdrukken in lambda en de vectorvoorstelling van het vlak herschrijven (er staat dan een uitdrukking in lambda). Haal de lambda buiten haakjes, en zorg dat er een lijnvoorstelling uitkomt.

Groetjes,

Davy.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 23 juni 2004