WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Hoeveel mogelijkheden zijn er met drie cijfers?

Hoeveel mogelijkheden zijn er met drie cijfers?
jente
2de graad ASO - donderdag 17 juni 2004

Antwoord

Laten we eerst even duidelijk het verschil maken tussen combinaties en permutaties. Als we praten over combinaties, dan kijken we naar de cijfers die voorkomen in een getal, maar niet naar de plaats. In dat geval zou dus 949 hetzelfde zijn als 994 en 499, ze bestaan immers alle drie uit 2x een 9 en een 4.

Zodra we het hebben over permutaties is de plaats van de cijfers wel van belang. Nu is 949 dus NIET hetzelfde als 994 en 499. Ze zijn alle drie verschillend.

Hieronder behandel ik zowel de combinaties als permutaties met drie cijfers.
COMBINATIES MET DRIE CIJFERS
Hierbij maken we een onderscheid uit drie verschillende soorten gevallen:
getallen waarbij alle drie de cijfers hetzelfde zijn
getallen waarbij twee cijfers hetzelfde zijn
getallen waarbij er geen cijfers hetzelfde zijn
Om te beginnen de getallen met drie dezelfde cijfers. Dat is dus 000, 111, 222 ... 999. Dit zijn dus 10 verschillende getallen.

Daarna krijgen we de getallen met twee dezelfde cijfers. We kunnen beginnen met 00, 11, 22, 33 .. 99. Dat waren er dus 10. Vervolgens kunnen we nog een derde cijfer uitkiezen, als het maar niet het cijfer is dat we al gekozen hadden. Hier zijn er dus 10 x 9 = 90 mogelijkheden.

Dan krijgen we nog het geval met drie verschillende cijfers:
Als we 10 cijfers hebben waar we 3 keer een cijfer uit halen (zonder hetzelfde cijfer te gebruiken), praten we over 10 boven 3, ook wel 3 uit 10 genoemd.

De manier om a boven b (b uit a) te berekenen is in het algemeen a!/(b! · (a-b)!).

In dit geval wordt het dus 10!/(3! · 7!) = 3628800 / 30240 = 120.

Opmerking: Als je een grafische rekenmachine hebt, kun je een combinatie ook vaak invoeren aan de hand van een voorgeprogrammeerde functie. Ik weet dat deze functie op de Texas Instruments nCr genoemd wordt. Je hoeft dan alleen maar 10nCr₃ in te voeren.

In totaal komen we bij combinaties dus op 10 + 90 + 120 = 220 verschillende mogelijkheden.
PERMUTATIES MET DRIE CIJFERS
Stel: we gaan getallen maken met twee cijfers. Dus van 00 t/m 99. We kunnen beginnen met een 0 en een 0, een 0 en een 1, 02,03,04,05 ... 09. Dan krijgen we 10, 11, 12, 13 .. 19 ... 98, 99. Elk eerste cijfer kunnen we dus met 10 andere cijfers combineren. Daarmee zijn dus 10x₁0 = 100 getallen mee te maken.

We kunnen nu ook makkelijk de stap maken naar 3 cijfers. Daar kunnen we dus 10x₁0x₁0 = 1000 getallen mee maken. Op zich is dat ook wel logisch, omdat je eigenlijk telt t/m 999 en met de 0 erbij zijn dat 1000 mogelijkheden.

Korter geschreven: Met 3 cijfers kunnen we 10³ getallen maken.
En in het algemeen: Met n cijfers kunnen we 10ⁿ getallen maken.
CONCLUSIE
Combinaties zorgt voor 220 mogelijkheden en permutaties voor 1000 mogelijkheden. En dat is ook wel logisch, aangezien bij permutaties de volgorde van belang is en bij combinaties niet.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 17 juni 2004