WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Kegelsnede en weerkaatsing

Als je een parabool hebt met de vergelijking y=x²/2 en op het punt (0,0.75) staat een lichtbron en de parabool heeft de functie van een spiegel, en je hebt een scherm met vergelijking y=7.5, hoe bereken je wat voor een cirkel je hebt op het scherm en met welke straal?
jan
3de graad ASO - zaterdag 12 juni 2004

Antwoord

De parabool y=x²/2 heeft brandpunt F(0,¹/₂) en richtlijn y=-¹/₂.
Lichtstralen die uit het brandpunt komen, worden teruggekaatst parallel aan de as van de parabool (hier dus parallel aan de y-as).
Het punt P(0,3/4) ligt iets boven het brandpunt op de y-as, dus het lijnstuk van P naar een punt X van de parabool ligt (bijna) altijd boven het lijnstuk van F naar X. Omdat ook voor lichtstralen uit P (net als voor lichtstralen uit F) geldt dat PX (of in het andere geval FX) en de teruggekaatste lichtstraal gelijke hoeken maken met de raaklijn in X aan de parabool, wordt de lichtstraal uit P vanuit X teruggekaatst in de richting van een punt op de positieve y-as (teken de trajecten van de lichtstralen uit F en uit P in 1 plaatje).
De vraag is nu of de vanuit P via X teruggekaatste lichtstralen door elk punt (x,7.5) (met x tussen -√15 en √15)) kunnen gaan of niet.
Maken we gebruik van continuïteit, dan hoeven we voor de beantwoording van deze vraag alleen naar de extreme posities van X te kijken:
neemt men X(-√15,7.5), dan is het snijpunt van de teruggekaatste lichtstraal met het scherm X zelf; neemt men X(0,0), dan snijdt de teruggekaatste lichtstraal het scherm in (0,7.5). Het antwoord op de vraag is dus ja.
Wentelt men de parabool y=x²/2 om de y-as, dan krijgt men een paraboloïde. De teruggekaatste lichtstralen snijden het vlak y=7.5 in alle punten binnen de cirkel volgens welke dit vlak de paraboloïde snijdt.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 14 juni 2004