WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Limiet

Dit is een reactie op vraag 24779

Hey,

Bedankt voor je reactie maar ik heb nog geen afgeleiden op't school gezien . Ik zou het dus moeten oplossen zonder afgeleiden. Weet je nog een andere manier ?

Alvast bedankt,

Joël
Joël V
Overige TSO-BSO - maandag 31 mei 2004

Antwoord

Hallo,

Tis nochtans eenvoudiger met die regel van de l'Hôpital , maar het kan ook zonder. Wat is het probleem? Je hebt 0 in teller én in noemer, maar je kan die onbepaaldheid niet direct wegwerken door iets weg te delen, zoals dat bv bij (x²-1)/(x-1) zou lukken. De lastigheid zijn die wortels in de teller, dus moet je die zien kwijt te raken.

Als we teller en noemer met dezelfde nietnul-uitdrukking vermenigvuldigen, verandert het resultaat niet, dus dat mag. Je ziet in de teller iets van de vorm a-b
met a = √(8x+1) + √(2x-1)
en b = 4

Als je dat nu maal a+b doet, dan komt er a²-b² (merkwaardig product). Doordat er kwadraten komen, zal je al een wortel kwijtspelen, en dat is toch de bedoeling.

De teller wordt dus: (√(8x+1) + √(2x-1))²-4²
= 10x - 16 + 2√(16x²-6x-1)

De noemer wordt: (x-1)[√(8x+1) + √(2x-1) + 4]
Maar die tweede factor wordt gewoon 8 als je x=1 invult, dus mag je die factor schrappen en ¹/₈ voor het limietteken zetten.

Resultaat: ¹/₈ lim (10x - 16 + 2√(16x²-6x-1))/(x-1)
= ¹/₄ lim (5x - 8 + √(16x²-6x-1))/(x-1)

Nog steeds hetzelfde probleem: die wortel.
Dus passen we nog eens dezelfde truc toe: deze keer is de teller a+b
met a = 5x-8
en b = √(16x²-6x-1))

Vermenigvuldig teller en noemer met a-b. De teller wordt dan a²-b², of dus:
(5x-8)²-(16x²-6x-1) = 9x²-74x+65

En de noemer wordt: (x-1)(5x - 8 - √(16x²-6x-1))
Maar de tweede factor in die noemer wordt -6 als je x=1 invult, dus kan je die factor schrappen, en -¹/₆ voor je limietteken zetten.

Wat blijft over?
-1/24 lim (9x²-74x+65)/(x-1)

Natuurlijk heb je nog steeds 0/0, want het enige dat totnogtoe is gebeurd, is het vermenigvuldigen van teller en noemer met uitdrukkingen die niet nul zijn... Maar nu heb je ook in de teller een veelterm, en daaruit kan je eenvoudig de (x-1) wegdelen (op het zicht, of met een staartdeling of zo).

Resultaat: -1/24 lim (9x-65)
= -1/24 · (-56)
= 7/3 = 2,333...

En dat resultaat klopt ook: vul in je uitdrukking maar eens x=1,001 in. Dan krijg je als waarde: 2,332537668
En vul eens x=0,999 in, dat geeft: 2,334130262

En die beide waarden liggen geruststellend dicht bij de berekende oplossing 7/3...

Groeten,
Christophe.

NB: Anneke maakt terecht volgende opmerking: als je y gelijkstelt aan x-1 (dus de limiet wordt dan y naar 0), dan kan je de breuk splitsen als volgt:
(√(8y+9) - 3)/y
en (√(2y+1) - 1)/y

Het voordeel hiervan is:
1. dat je maar één keer per term de truc van het vermenigvuldigen met a+b moet toepassen om alle wortels kwijt te raken. De opsplitsing van die 4 in 3 en 1 is nodig opdat je beide termen nog steeds 0/0 zouden geven.

2. en het voordeel van de substitutie van x naar y, is dat je veel eenvoudiger een y kan wegdelen (dat is gewoon in de teller y wegschrappen), dan een (x-1) (daarvoor moet je een staartdeling uitvoeren).

De eerste term zal 4/3 geven, de tweede term 1, dus samen ook weer 7/3. Bedankt voor de aanvulling!

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 31 mei 2004