WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Worteltrekken en bewijzen

Mijn vraag was hoe kan je het BEWIJZEN dat het wortel trekken op deze manier gaat en ook hoe kan je BEWIJZEN dat je op deze manier de derde machtswortel moet trekken.

Voorbeeld: Wortel uit 223731,34

1) Verdeel het getal, tellend vanaf de komma, in groepjes van 2.
Wortel uit 22 37 31, 34

2) Bepaal het grootste getal waarvan het kwadraat onder 22 ligt : 4
Zet 4 als eerste getal in de "zijrij"

Wortel uit 22 37 31, 34 = 4

3) Trek dit getal (16 dus) af van 22; er blijft een rest 6.

Wortel uit 22 37 31, 34 = 4
42 = 16 16
6

4) Haal de volgende twee cijfers aan: 37

Wortel uit 22 37 31, 34 = 4
42 = 16 16
637

5) Neem het dubbele van het getal in de zijrij, dus het dubbele van 4, ofwel 8.

6) Zoek nu het grootste getal dat je voor het puntje „h kunt invullen in de berekening 8„h maal „h , zo, dat je onder 637 blijft. Op de plaats van „h moet je dus 7 plaatsen, want 87 x 7 = 609 (en 88 x 8 = 704!).

7) Zet dit getal 7 in de zijrij achter de 4

Wortel uit 22 37 31, 34 = 47
42 = 16 16
637
8 „h maal „h
wordt 87 maal 7 609

8) Bepaal het verschil van 637 en 609: geeft rest 28

Wortel uit 22 37 31, 34 = 47
42 = 16 16
637
8 „h maal „h
wordt 87 maal 7 609

9) Haal de volgende twee cijfers aan: 31

Wortel uit 22 37 31, 34 = 47
42 = 16 16
637
8 „h maal „h
wordt 87 maal 7 609

K
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 18 mei 2004

Antwoord

Beste K,

Laten we dat worteltrekken eens nader bekijken aan de hand van het voorbeeld 463761.

We verdelen het getal in groepjes van 2. Het kwadraat van een los cijfer ligt immers tussen 0 en 100, van een getal van de vorm x0 tussen 100 en 10000, van een getal van de vorm x00 tussen de 10000 en 1000000, enz.

De wortel van 463761 wordt dus een getal van 3 cijfers, en het eerste cijfer van de wortel kunnen we bepalen aan de hand van de eerste twee cijfers 46. Het grootste kwadraat dat hier nog in pas is 6²=36. Anders gezegd, 600 is het grootste honderdtal met een kwadraat onder de 463761. Het eerste cijfer moet dus 6 zijn, want de wortel moet kennelijk tussen 600 en 700 liggen!

We hadden het getal 46|37|61, en we hebben kunnen bewijzen dat het eerste cijfer een 6 moet zijn. Nu schuiven we een streepje op. Omdat we 2 plaatsen zijn opgeschoven is de 6 uit de wortel van daarnet nu 60 waard geworden.
Onze opdracht is nu het grootste cijfer c te vinden zodat (60+c)² nog kleiner is dan 4637. Maar omdat (60+c)²=3600 + 120c + c² = 3600 + c(120+c) komt dit neer op het volgende:

Trek van de 46 uit het eerste setje 36 af. Dan hou je 10 over. Trek de volgende twee cijfers erbij. Dan heb je 1037. Nu zoeken we het cijfer c zodat c maal 12c (12 het dubbele van 6) nog kleiner is dan 1037. Dit moet het tweede cijfer zijn, want kennelijk ligt het gegeven kwadraat tussen (60+c)² en (60+c+1)².

Enzovoort.

***

Een beschrijving van de werkwijze voor de derdemacht is soortgelijk, alleen werk je nu met groepjes van drie cijfers. Zie de link onderaan, waar ze de derdemachtswortel van 113 voordoen. Voor de komma wordt dat 4, want 4³ is de grootste derdemacht kleiner dan 113. Dan na de komma werken ze door met de rest, natuurlijk nu met drie cijfers meer. Dus 49,000. Nu gaan ze het eerste decimaal zoeken, voor het gemak laten ze de komma even zitten. Dan krijg je het getal 4c voor een bepaald cijfer c. Nu weet je dat 4c³ = (40+c)³ = 40³ + 3·40²·c + 3·40·c² + c³ = 64000 + 4800c + 120c² + c³. Die 64000 had je al (in de vorm 64,000) en nu moet je dus het grootste cijfer zoeken zodat c(4800+120c+c²) nog past. Natuurlijk zorgt dit voor het grootste cijfer c zodat (4,c)³ nog kleiner is dan 113. De validiteit van de werkwijze is daarmee direct te bewijzen.

***

Ik hoop dat dit het bewijs voor je heeft duidelijk gemaakt.

Zie Ask Dr. Math: Cube Root by Hand

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 24 mei 2004