WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Convergentie van een reeks

Dit is een reactie op vraag 23930

Hallo Christophe,

Heel erg bedankt voor je uitleg. Ik heb nog enkele vragen.

1.Waarom wordt T_k eigenlijk op deze manier gedefinieerd?Want de S'en vallen weg en je houdt S_n over.Is het omdat je op die manier alleen punten op een rand krijgt en dat zijn die punten w die op de rand van een parallellogram liggen?
2.SOM{|w|^-q}=SOM SOM {(|mw1+nw2|)^-q}, de eerst som gaat van m=-oneindig tot oneindig, de tweede som van n=-oneindig tot oneindig
Loopt deze som tegelijkertijd over m en n?Of kies je eerst m vast en laat je n varieren?
3.Waarom heeft een zijde 2k+1 punten?

Groeten,

Viky
viky
Student universiteit - zondag 16 mei 2004

Antwoord

1. Inderdaad, dat is de bedoeling: je kan eenvoudig de T_k's afschatten omdat je alleen punten op de rand van het parallellogram hebt.

2. De som loopt over elk koppel (m,n) uit $\mathbf{Z}$ X $\mathbf{Z}$ (behalve (0,0)). In de praktijk bereken je dit als volgt (je kan m of n natuurlijk niet op min oneindig laten starten):
Begin met |m|,|n|$\leq$1
(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)
Daarna laat je |m| of |n| = 2: (-2,-2),(-2,-1),...

Dit komt dus eigenlijk weer neer op telkens de rand van een groter parallellogram (teken maar eens een tralie en duid de punten aan in volgorde zoals hierboven)

3. Hoe ziet zo een zijde eruit? Daar geldt dat m of n gelijk is aan k of -k, en de andere (m of n) loopt van -k tot k. En van -k tot en met k zijn er juist 2k+1 punten.
Dus één zijde bestaat uit:
(m,n)=(k,-k),(k,-k+1),(k,-k+2),...,(k,k-1),(k,k)
Een andere:
(m,n)=(-k,-k),(-k,-k+1),(-k,-k+2),...,(-k,k-1),(-k,k)
Een derde:
(m,n)=(-k,-k),(-k+1,-k),(-k+2,-k),...,(k-1,-k),(k,-k)
En de vierde:
(m,n)=(-k,k),(-k+1,k),(-k+2,k),...,(k-1,k),(k,k)

Hier zie je nog eens dat je 4 keer (2k+1) punten hebt, maar dat je (m,n)=(k,k),(k,-k),(-k,k),(-k,-k) dubbel hebt geteld.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 17 mei 2004