WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Conchoide

Dit is een reactie op vraag 23885

Het gaat niet over algemene informatie van conchoide. Maar over uitleg bij de plots, want het moet een soort onderzoek zijn. Maar ik weet niet zo goed wat ik daar mee aan moet.
Marloe
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 12 mei 2004

Antwoord

Je bedoelt dus dat je deze functie zelf moet bespreken.

Voor de functie r = ^a/_{cos $\theta$} + p zie je dat f($\theta$) = f(-$\theta$) (omwille van cos $\theta$) zodat je de functie enkel moet onderzoeken in het interval [0,$\pi$].

De linkerlimiet (voor ^$\pi$/₂) = +$\infty$ en de rechterlimiet (voor ^$\pi$/₂) = -$\infty$. Dit geeft de verticale asymptoot.
De limiet van x = r.cos $\theta$ voor ^$\pi$/₂ = a en de limiet van y = r.sin $\theta$ = $\infty$. Dus als x nadert naar a zal y naderen naar $\infty$. Dit is een andere manier om de verticale asymptoot te verklaren.

Verder :

r(0) = a + p
r($\pi$) = -a + p of r(0) = a - p; afhankelijk van p ligt dit punt links, in of rechts van de oorsprong.

r = 0 als a + p.cos($\theta$) = 0. Dit kan alleen als p $\geq$ a.

De afgeleide van r is steeds positief. Dus r wordt steeds groter (het punt verwijdert zich steeds weg van de oorsprong maar houd er rekening mee dat een toename van een negatieve r voor gevolg heeft dat het punt naar de oorsprong toekomt).

Met de formule tan $\beta$ = ^r/_{r '} (met $\beta$ is de hoek tussen de raaklijn en de voerstraal) vind je dat voor $\theta$ = 0 de raaklijn verticaal is ($\beta$ = ^$\pi$/₂), voor $\theta$ = ^$\pi$/₂ eveneens ($\beta$ = 0) en dat voor $\theta$ = $\pi$ de raaklijn ook verticaal ($\beta$ = ^$\pi$/₂) is als a $\ne$ p, maar dat de raaklijn horizontaal ($\beta$ = 0) is als a = p (dit is het hoekpunt in de oorsprong als a = p).

Je zou de functie ook kunnen uitdrukken als een cartesische vergelijking en dan deze cartesische vergelijking bespreken, maar dit levert nogal ingewikkelde berekeningen, vermits de cartesische vergelijking is :

y = ±^x/_(x-a).√[(a-p-x)(x-a-p)].

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 12 mei 2004