WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Wat is precies een combinatie?

Beste .......,

Hier is dan de tweede (verduidelijkte) versie; ik weet dat de vraag nogal lang is maar vorige kortere vragen hierover hebben niet echt uikomst geboden, vandaar.... Ik zou het fijn vinden als je in ieder geval het niet al te algemeen uitlegt (ik denk ik DAT ondertussen wel snap) maar even kijkt HOE ik het nu juist verkeerd aanpak, bedankt.

Stel, je hebt 5 knikkers in een knikkerbak, 3 zwarte en 2 witte. Je pakt nu 4 knikkers zonder terugleggen. Op hoeveel manieren kun je nu 2 zwarte pakken??
Je hebt 3 zwarte en je pakt er 2 van. Er zijn dus 3 boven 2 mogelijkheden. Verder pak je er dus ook nog 2 uit een groep van 2 witte. Dus (3 boven 2) x (2 boven 2) geeft het definitieve antwoord.

Nu bekijk is een andere situatie op 2 manieren (1x op dezelfde manier als voorbeeld hierboven), en steeds kom ik tot het FOUTE antwoord, aan jou eigenlijk gewoon de vraag, waar zit(ten) de fout(en)???

1- Je hebt nu de situatie waarbij je in een reeks van 7 3x mislukkig hebt en 4x succes. Je vraagt je nu af hoeveel series je kunt maken. Als eerste weet ik al dat als je naar combinaties kijkt, je geen onderscheid maakt tussen (in een bepaalde situatie) PSA en ASP, het gaat er namelijk om welke je uiteindelijk hebt, niet in welke volgorde je dit eindresultaat krijgt bij combintaties, toch?? Dit geeft mij dan weer het idee dat puur kijkende naar combinaties ook geen verschil is tussen bv. MMMSSSS en SSSMMMS, immers het gaat toch nog niet om de volgorde bij combinaties? Dus leek het mij logisch dat je maar 1 combinatie kunt maken uit een serie van 3xM en 4x S, er is dus maar 1 serie!? Maar er is wel verschil tussen de verschillende volgorde want het antwoord is 35, wat je krijgt uit 7 boven 3 (of 4). Volgens mij reken je dus wel met combinaties (je gebruik n boven x) maar ik zie niet in waarom, er is er toch juist maar 1??

2- Persoonlijk zou mijn berekening 35 trouwens ook al niet geven. Ik zou simpelweg denken, je pakt 3 uit 3 zwarte knikkers en 4 uit 4( ik pak het dan vergelijkbaar aan met het voorbeeld bovenaan mijn vraag, of kan dat niet omdat dit een andere situatie is??), dus aantal combinaties moet zo toch ook 1 zijn!!??????

Okeej, ik weet al dat 7 boven 3 of 7 boven 4 het antwoord geeft, ook wel de meeste dingen van telproblemen. Dit geval vind ik toch wel vaag, ik zie gewoon niet in waarom je met combinaties rekent (en dat je 35 zo als antwoord krijgt) terwijl er voor mij juist op 2 manieren blijkt dat er maar 1 serie is.

Alvast bedankt, Jop
Jop No
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 6 mei 2004

Antwoord

Toch eerst een algemene notie over combinatieleer telkens aangevuld met je twee voorbeelden.

In combinatieleer komt het erop aan om na te gaan hoeveel mogelijke antwoorden er voldoen aan een bepaald selectie.
=Je hebt elementen waaruit je selecteert.

Vb 1. Je hebt 5 knikkers (2witte, 3zwarte). Als je 4 knikkers neemt, hoeveel mogelijkheden heb je om 2 zwarte knikkers te trekken (en dus noodzakelijk ook de 2 witte).
Je elementen: 3 zwarte en 2 witte knikkers
Je selectie: 2 zwarte in een trekking van 4 knikkers

Vb 2. Je hebt 7 experimenten waarvan je weet dat er 3 mislukkingen zijn en dus 4 geslaagde (succes) experimenten.
Hoeveel mogelijke series heb je? of anders uitgedrukt: op hoeveel verschillende manieren kan je die 7 experimenten ordenen. En merk op, als je de positie kent van je mislukkingen dan ken je automatisch ook de positie van je successen.
Je elementen: 3 mislukkingen en 4 successen
Je selectie: de positie van de drie mislukkingen.

Dergelijke vragen los je op in een aantal stappen.

Eerste stap: herhaling of geen herhaling?
Herhaling betekent dat je je bepaalde elementen meerdere keren mag gebruiken. Dit is hetzelfe als "met teruglegging".

Als je herhaling hebt en je moet r elementen selecteren uit een verzameling van n dan heb je n^r mogelijkheden.
En heb je een oplossing.

Indien je werkt zonder herhaling ga dan over naar stap 2.

In elk van je voorbeelden werken we zonder herhaling.

Tweede stap: Volgorde van belang of niet?

'Volgorde belangrijk' betekent dat het belangrijk is dat je weet welk element je eerst getrokken hebt.
Als de volgorde belangrijk is, werk je met permutaties en herhalingspermutaties.

vb. hoeveel woorden kan je vormen met de letters van "bord"
en met woorden bedoelen we dan om het even welke opeenvolging van letters en geen worden uit het woordenboek.
Uiteraard is de positie van een letter in een woord belangrijk. staart en straat zijn naar mijn mening niet hetzelfde.

vb. de top drie van een wedstrijd. Uiteraard is de eerste plaats niet dezelfde als de tweede en/of de derde.

Wanneer is een volgorde dan niet belangrijk? wel als het om het even is of je nu je elementen één voor één selecteert of allemaal tezamen.

En in dit geval werk je met combinaties.

vb 1. ik wil twee zwarte knikkers op de 4, maar het doet er niet toe of dat nu de eerste en de tweede onmiddellijk zijn of de 1e en de 4e enz. Je neemt gewoon 4 knikkers en kijkt dan naar alle 4 tegelijkertijd.
En dan krijg je ook jouw oplossing.

Vb 2. De drie posities van je mislukkingen. Het is niet belangrijk in welke volgorde je testen controleert: je controleert gewoon alle testen en je noteert de mislukkingen en dan bekijk je dat resultaat.
Niet duidelijk? wel neem een meerkeuzevraag. Je weet van te voren dat op de zeven gegeven antwoorden er 4 juiste zijn (succes) en 3 foute antwoorden (mislukking).
De volgorde waarin de juiste antwoorden staan, doet er niet toe, je moet gewoon de posities kennen. Als jij nu je antwoorden selcecteert, dan moet dat niet in een welbepaalde volgorde. Je duidt eerst aan wat je weet en niet noodzakelijk wat eerst komt in het rijtje. De volgorde waarin je de antwoorden aanduidt is dus onbelangrijk.
Dus ook in dit voorbeeld is de volgorde niet van belang.

Dus combinatie van 3 posities uit de 7: is (7 boven 3).

Jij verwart twee soorten van volgordes.
Jij veronderstelt dat het niet belangrijk is in welke volgorde de mislukkingen en de successen voorkomen. Wel stel je werkt in een bedrijf langs de productielijn. Je baas zegt je dat van die welbepaalde 7 stukken de 4e, de 5e en de 7e stuk is.
Oke, zeg jij, een volgorde in een serie is niet van belang
dus ik verwijder de eerste drie. Ik denk niet dat je daar nog lang zal werken.
Maar uiteraard zal je baas er niets op tegen hebben als je eerst de 5e verwijdert vervolgens de 4e en dan de 7e of dat je eerst de 7e en dan de 5e en dan pas de 4e verwijdert.
Je moet gewoon die drie posities geselecteerd hebben in om het even welke volgorde.

Snap je nu het verschil en de fout in je redenering?

Mvg,

Els

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 7 mei 2004