WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Veelhoeken - constructie

Dit is een reactie op vraag 23586

Héhé!

Erg bedankt voor je antwoord! Nu begrijp ik écht hoe je ze kunt vinden!

Maar toch nog 3 kleine vraagjes:
1) Je zegt 'wel construeerbaar: 1 en 2'. Dat is toch niet construeerbaar? Je hebt toch geen hoeken?

2) Kun je me ook bevestigen of de manier (zie boven) waarop ik de regelmatige 3,4,5,6,8,10,12,16,20,...-hoeken wens te construeren, of dat correct is?
Dus als je bvb een regelmatige achthoek wenst te construeren:je dit kunt doen door een regelmatige vierhoek te construeren, de 4 middelloodlijnen op de 4 zijden te plaatsen (zo bekom je nog 4 extra punten), om zo je regelmatige achthoek te construeren. Dit is toch volledig correct volgens de Griekse stijl hé? Dus met enkel passer en liniaal...

3) Hoe construeer je die regelmatige 15-hoek? Want dit kan je niet bekomen via de regelmatige 3-,4- of 5-hoek...

Bedankt voor de hulp!!

Sofie

Sofie
Student Hoger Onderwijs België - woensdag 5 mei 2004

Antwoord

Heyhey!

1) Een eenhoek en een tweehoek zijn inderdaad nogal lastig voor te stellen... Je zou eventueel een eenhoek kunnen definiëren als een punt, en een tweehoek als een lijnstuk. Dat zou dan passen met de constructie van n punten op de eenheidscirkel. Maar de gevallen n=1,2 zijn inderdaad nogal weinig interessant.

2) Als je een n-hoek kan construeren, kan je inderdaad ook een 2n, 4n, 8n,...-hoek construeren, door een constructie met bissectrices, of zoals je zegt, middelloodlijnen op de zijden.

3) Een 15-hoek construeren... Dat kan je als volgt doen: construeer in een goniometrische cirkel, een driehoek EN een vijfhoek, zodat deze twee een punt gemeen hebben (vb het punt (1,0)).

We gaan nu een 15-hoek construeren die ook in deze cirkel ligt, en ook dit punt bevat. Noem het punt (1,0) hoekpunt 1 vd 15. Het volgende punt van de driehoek zal dan hoekpunt nummer 6 van de 15-hoek zijn; en het derde punt van de driehoek zal hoekpunt 11 zijn.

Analoog zullen de punten van de vijfhoek, de hoekpunten van de 15-hoek zijn met nummers 1,4,7,10,13.

Verbind nu de hoekpunten 6 en 7, dan heb je één zijde van de 15-hoek, en kan je de rest afpassen...

Deze techniek kan je ook gebruiken om een willekeurige n-hoek te construeren waarbij n aan de eisen voldoet: deel eerst n door een macht van 2 tot je een oneven getal (m) uitkomt. Ontbind m in zijn fermatpriemfactoren: vb 3·17·257

Construeer dan een 3-hoek en een 17-hoek, je zal dan wel ergens hoekpunten vinden die dicht genoeg bij elkaar liggen, dan heb je een zijde van de 51-hoek. En dan construeer je een 257-hoek, en je zoekt weer hoekpunten die dicht bij elkaar liggen, dan heb je een zijde van de 51·257-hoek. En dan neem je telkens nog de middelloodlijnen of bissectrices om de 2m,4m,...-hoek te construeren en daar heb je dan de n-hoek.

Maar het zal wel duidelijk zijn dat zo een 257-hoek niet op 1,2,3 getekend is... Maar het kan dus wel he.

Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 5 mei 2004