WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Derdegraadsvergelijking

Ik wil voor een werkstuk laten zien hoe je een formule als ax³ + bx² + cx + d=0, , ombouwt tot een formule ax³ + bx + c=0, en daarna laten zien hoe je dan tot de een x komt, met behulp van cardano.
En vervolgens de factorstelling toepassen om de andere 2x en te weten te komen.
Om een goed oplosbare derdegraads vergelijking te vinden, die eruit ziet als ax³ + bx² + cx + d=0, beginnen we met de antwoorden te noteren.
x = 3
x = 6
x = 12

Dit zal er als volgt uit zien.
(x-3) (x-6) (x-12) =0
(x² -9x +18) (x-12) =0
x³ –12x²–9x²+108x+18x –216=0
x³ -21x² +126x –216 =0

om de werkwijze van de vorige hoofdstukken te hanteren zullen we ax³ + bx² + cx + d=0 om moeten bouwen tot ax³ + bx + c=0.

we vervangen x door y-b/(3a)
x = y - -21/3
x = y –-7
x = y +7
x³ -21x² +126x –216 =0
(y+7)³ -21(y+7)² +126(y+7) –216 =0

We werken het per stukje uit,
deel 1.
Nu is geldt dat, (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³( volgens het binomium van Newton).
(y+7)³ = y³+(3y².7) + (3y. 7²) + 7³
= y³ +21y² +147y + 343

deel 2.
-21(y+7)² = -21 ((y+7)(y+7))
= -21 (y²+ 14y +49)
= -21y²-294y –1029
deel 3.
126(y+7) = 126(y+7)
= 126y +882

bij elkaar voegen ;
y³ + 21y² +147y + 343 -21y²-294y –1029 +126y +882 -216 = 0
y³ -21y -20 = 0

nu vervangen we alle y’s door u+v
y³ - 21y -20 = 0
(u+v)³ - 21(u+v) -20 = 0
u³+v³ + 3u²v +3uv² +v³ - 21(u+v) -20 = 0
u³+v³+ 3uv(u+v) - 21(u+v) -20 = 0
u³+v³ - (3uv -21)(u+v) -20 = 0
stel 3uv - 21 = 0
20 - 0.(u+v)= 20
Nu kunnen we verder werken als in de vorige hoofdstukken.
u³+v³ = 20

3uv - 21= 0
3uv = 21
uv = 7
(uv)³ = 7³
u³.v³ = 343

als je in een vergelijking weet dat:
a .b = 343
a + b = 20
Dan valt a en b uit te rekenen.

a + b = 20
b = 20 –a
invullen in de formule, a.b = 343
a . (20 –a) = 343
20a –a² - 343= 0
a² - 20a + 343 = 0

Dit valt niet te zien.
Daarom passen we de ABC-formule toe.

D = b² –4ac.
D= (-20)² - 4 . 1.343 = -972

Dit kan niet, waar ben ik de mist in gegaan,
kunt u dit duidelijk aangeven?

Hieruit moet een getal komen, dit noem ik dan a.
b kan ik dan ook uitrekenen.
De derdemachtswortel uit a = u
De derdemachtswortel uit b = v
u + v geeft y
y + 7 geeft x
Als ik dan x weet, kan ik met behulp van de factorstelling de andere x-en uitrekenen.
Is dit een juiste methode?

ronald
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 3 mei 2004

Antwoord

Hallo Ronald,

Mijn compliment voor de uitgebreide toelichting.

Er gingen wel een paar dingen mis bij de overgang van y³-21y-20 = 0 naar je tweedegraadsvergelijking.

Maar ook na correctie zit je nog steeds met het probleem dat de discriminant0.
Hier liepen Cardano en zijn tijdgenoten ook vast. Ben je echter op de hoogte van complexe getallen
dan is het mogelijk om alle waarde van x te berekenen.

Als je geluk hebt dan is de discriminant0 en kun je zonder op de hoogte te zijn van complexe getallen één waarde van x berekenen. Dan moet ook nog gelden dat die x een mooi getal is, anders kun je de factorstelling wel vergeten.

Probeer jouw methode eens uit op x³+3x²-9x-27 = 0
Dan zul je merken dat je aanpak goed is.

Zie voor een andere aanpak de uitwerking van vraag 20304

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 4 mei 2004