WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

De snelste route

Het probleem met drie snelheden. Bij dit probleem hebben we te maken met drie verschillende snelheden, dus moeten we de wet van Snellius twee keer toe passen. Bij ons voorbeeld moet het dan als volgt.
V1 	= 15 km/h
V2 	= 10 km/h
i     	=  90º
r	=  ?
wet van Snellius; 	v2 sinus i  = v1 sinus r
 			 10 sinus90 = 15 sinus r
				 10 = 15 sinus r
			    Sinus r = ¹⁰/₁₅
			       r    = sin^-1 (10/15) = 41,81º
Dit betekent dat je een hoek van ongeveer 42 graden moet maken wanneer je naar de eerste strook mul zand gaat. De hoek van de eerste strook naar de tweede strook zand gaat als volgt:
V1 	= 10 km/h
V2	=  5 km/h
I	= 42 graden
R	= ?
Wet van Snellius;	v2 sinus i = v1 sinus r
			5 sinus42  = 10 sinus r
			      3¹/₃ = 10 sinus r
			   Sinus r = ¹/₃
			         r =  sin^-1 (1/3) = 19,47º
De afgeleide die jullie hebben gegeven bij Re: Re: Een trimmer op het strand heb ik gebruikt. als je daar voor 0,08 en 0,05 maakt, en 5 km/h ipv 10 km/h doet, kan je ook de kortste weg berekenen bij een tweede strook mul zand. het plaatje kan ik hier niet in krijgen, maar die staat bij Re: Een trimmer op het strand.

Mijn vraag is hoe het komt dat je dmv een dubbel gebruik van de afgeleide op de snelste route uit komt, net als hierboven met de wet van snellius. is er ook een verband tussen deze wet en de afgeleide, of staat dit los van elkaar? ik hoop dat het nu duidelijker is? alvast bedankt.
erwin
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 25 april 2004

Antwoord

Hoi Erwin,

inderdaad hebben de beide methoden met elkaar te maken. Je kunt de wet van Snellius namelijk afleiden met behulp van de methode met de afgeleide. Willem van Ravenstein wees me op deze link naar een animatie over de afleiding. Dat spaart mij het maken van een tekening uit...[;-)]. Ik zal de afleiding hieronder ook nog iets verder toelichten:

In de tekening zie je twee willekeurige punten A en B. Men noemt a de afstand van A tot het grensvlak, b de afstand van B tot het grensvlak en c de afstand tussen A en B in de richting langs het grensvlak. De totale tijd t om van A naar B te komen hangt natuurlijk af van het tussenpunt P op het grensvlak, en dus van x, en wordt gegeven door:

t(x) = 1/v1 · √(a²+x²) + 1/v2 · √(b²+(c-x)²).

De afgeleide hiervan is

t'(x) = 1/v1 · x/√(a²+x²) - 1/v2 · (c-x)/√(b²+(c-x)²),

...en die moet nul zijn voor het minimaliseren van de totale reistijd. Waar het nu om gaat is dat x/√(a²+x²) = sin(i) en (c-x)/√(b²+(c-x)²) = sin(r). Zodoende leid je dus de wet van Snellius af uit het minimaliseren van de reistijd.
Bedenk je verder nog dat dit geldt voor willekeurig gekozen punten A en B. Welke lichtstraal (of pad van de trimmer) je dus ook bekijkt, je kunt punten A en B kiezen op het pad en dan moet de wet van Snellius gelden.
Ik hoop je hiermee voldoende geholpen te hebben,

Guido Terra

P.S. Deze afleiding is opgeschreven voor een vlak grensvlak tussen twee media in een plat vlak. Je kunt het ook algemener doen voor gekromde grensvlakken, maar om dat netjes op te schrijven heb je wat meer gevorderde wiskunde nodig. Ook dan kun je met variatierekening de wet van Snellius afleiden. In feite komt dat erop neer dat je bij een gekromd oppervlak zo ver kunt inzoomen dat het oppervlak bij benadering vlak lijkt...

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 10 mei 2004