WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Spiegelingsprincipe van Schwarz

Dit is een reactie op vraag 22749

Hallo Guido Terra,

Heel erg bedankt voor je antwoord! Ik heb nog enkele vragen.

1. Laat R1={z in C: Rez=0, Imz=1} rand 1 van G zijn,
R2={z in C:Rez=1} rand 2 en R3={z in C: |z|1, 0=Rez =1, de kwartcirkel}.Ik begrijp niet hoe je moet spiegelen in deze randen.Stel z in G, waar ligt dan z als z gespiegeld wordt in R1, R2 en R3?
2.Door herhaaldelijk te spiegelen ..t/m..bovenhalfvlak. Dit moet je dus bewijzen door de stappen 1 en 2 te bewijzen?En is dit het uitgangspunt van het bewijs?
Omdat ik dus niet begrijp hoe je precies moet spiegelen, begrijp ik niet hoe je door te spiegelen in R1 en R2 H (het bovenhalfvlak) krijgt met uitzondering van die cirkels. Hoe komt u aan die cirkel met r=1 rond die punten?
En waar is de spiegeling in de kwartcirkel?
3. bij stap 1.Hoe bewijs ik nu dat de rand van G op de rand van H wordt afgebeeldt?
4. bij stap 2.Ik begrijp niet hoe ik dit bewijzen moet.
5. bij punt 2. Wat bedoelt u precies met de spiegeleigenschappen?
g voldoet aan g(-z*)=g(z)* :
-ligt z in G?
-is het -(z*) of (-z)*?
-waarom voldoet G hieraan?
-hoe komt u aan g(2-z*)=g(z)*?

Heel veel groeten,

Viky
viky
Student hbo - maandag 19 april 2004

Antwoord

Hallo Viky,

Vanwege de manier waarop je je vraag stelde ging ik ervan uit dat je wist wat het principe van Schwarz voorstelde. Je huidige vragen maken dat ik je aanraad de theorie van complexe functies nog even beter te bestuderen. In het bijzonder:

5. - dat -(z^*) = (-z)^* aan elkaar gelijk zijn is een van de basiseigenschappen van complexe conjugatie.
- 2-z^* is de gespiegelde van z in R2, en g(z)^* is de gespiegelde van g(z) in de reele as (g(I) is daarin immers bevat). Net zo is -z^* de gespiegelde van z in R1. Dat g(2-z^*) = g(z)^* = g(-z^*) is dus hoe we de uitbreiding van g (waarvoor ik voor het gemak weer dezelfde notatie heb gebruikt) definieren volgens het spiegelingsprincipe. Dit is wat ik bedoel met de spiegeleigenschappen.
- Hierbij ligt z in eerste instatie in G, maar uiteindelijk geldt de eigenschap overal op de hele uitbreiding.
- Dit is geen eigenschap waar het gebied G aan voldoet, maar een eigenschap waaraan de uitbreiding van g (per definitie) voldoet.

1. Spiegelen in R1 en R2 (en in de reele as) zou je toch zelf wel moeten kunnen uitvinden? (ik heb het hierboven ook al opgeschreven). Spiegelen in een cirkel is misschien wat onbekender, maar wel noodzakelijk voor het kunnen begrijpen van Schwarz' spiegelingsprincipe: Voor spiegeling in de cirkel(boog) R3 is de formule SI(z) = 1/z^*. Voor algemene spiegeling in een cirkel I = {z in C: |z-a|=R}, met straal R om middelpunt a, geldt SI(z) = R²/(z^*-a^*) + a.

2. Dit moet je bewijzen door herhaaldelijk te spiegelen in R1 en R2. In eerste instantie breidt je dan door spiegeling in R1 g uit tot {z in C: -1Rez1, |z|1}. Daarna spiegelen in R2 breidt het definitiegebied uit tot {z in C: -1Rez3, |z|1, |z-2|1}, enzovoorts... Doe deze spiegelingen zelf maar een paar keer, dan zul je wel zien hoe je zo alles krijgt m.u.v. de genoemde cirkels.

3. Dat is een standaard-eigenschap van homeomorfismen (continue 1-1 afbeeldingen met continue inverse). Een 1-1 analytische functie moet zelfs diffeomorfisme zijn (zelfde definitie met continu vervangen door differentieerbaar).

4. Net als bij twee raad ik je aan om maar eens een aantal keren de spiegeling in de cirkelbogen uit te voeren. Zo levert de spiegeling in R3 (na uitbreiding van g tot het bovenhalfvlak minus de halve cirkels met straal 1) een uitbreiding van g tot het binnen-gebied {z in C: |z|1} met uitzondering van de beelden van de cirkels met straal 1. Dat zijn weer een halve cirkels, maar met kleinere straal dan daarvoor (teken dit zelf maar eens uit). Daarna kun je weer spiegelen in deze kleinere cirkelbogen, enzovoorts... De halve cirkels waarop g nog altijd niet is uitgebreid worden zo steeds kleiner, zodat elke z in het bovenhalfvlak (die dus niet op de reele as ligt) na voldoende malen spiegelen in het definitiegebied van de uitbreiding zal zitten.

Als je de zinssnede "enzovoorts..." (en dus ook "voldoende malen") echt hard wilt bewijzen, dan zul je volledige inductie moeten gebruiken. Laat bijvoorbeeld zien dat de straal van de halve cirkels na n keer spiegelen niet groter is dan 3^-n, zodat z niet in zo'n halve cirkel kan zitten wanneer n -³log(Imz).

Ik hoop je hiermee voldoende op weg te hebben geholpen om het probleem verder op te kunnen lossen. Succes ermee!

Guido Terra

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 20 april 2004

Re: Re: Spiegelingsprincipe van Schwarz