WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Dimensie kern + dimensie beeldruimte = dimensie originele ruimte

Hoe bereken ik een kern en een afbeelding. ik weet dat een lijn 1 dimensie is een vlak 2 en een ruimte 3.
Stel ik heb een afbeelding van:

4/5 -2/5
-2/5 1/5

Dan zegt mijn boek dat als ik dit maal x1 en x2 doe dat x1 en x2 de kern is en dat dit 1 is en dat uit deze vermenigvuldiging een afbeelding op (0,0) moet komen dan zou het beeld en de kern 1 zijn en de dimensie dus 2.
Ik snap hier niets van en de derde dimensie nog minder.

Wat reken ik uit als ik een kern of beeldruimte bereken en hoe doe ik dat?
harmke
Student hbo - dinsdag 13 april 2004

Antwoord

Beste Harmke.
Uw afbeelding A voegt aan het origineel (x1,x2) toe het beeld ((4/5)x1-(2/5)x2,(-2/5)x1+(1/5)x2), dus bijvoorbeeld aan het origineel (2,3) voegt A toe het beeld (2/5,-1/5). Reken dat na! Als u goed kijkt, ziet u dat de eerste coördinaat van het beeld hier ALTIJD -2 keer de tweede coördinaat is, want (4/5)x1-(2/5)x2 = (-2)*((-2/5)x1+(1/5)x2).
De beeldverzameling heeft hier vergelijking y1=-2y2. Dat is de vergelijking van een lijn, dus de beeldverzameling heeft dimensie 1.
De kern bestaat uit de originelen (x1,x2) die op (0,0) worden afgebeeld, dus die zo zijn dat ((4/5)x1-(2/5)x2,(-2/5)x1+(1/5)x2) = (0,0). Dus (4/5)x1=(2/5)x2 en (2/5)x1=(1/5)x2, wat op hetzelfde neerkomt als 2x1=x2.
Omdat dit de vergelijking van een lijn is, heeft de kern hier dimensie 1.
Volgens de dimensiestelling is bij een lineaire afbeelding de dimensie van de kern plus de dimensie van de beeldruimte altijd gelijk aan de dimensie van de originele ruimte, hier 1+1=2.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 15 april 2004