WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Gyroscoop

Ik ga een praktische opdracht maken over de gyroscoop. Dat is dus een staaf op een vlak waar een draaiende schijf aan bevestigd zit, zodat de staaf altijd in dezelfde houding blijft (als een tol). Vliegtuigen bijvoorbeeld bepalen met behulp van de gyroscoop hun draaihoek. Ook de snelheid wordt met gyroscopen gemeten. Snelheidsmeters worden dan gestabiliseerd met gyroscopen. Ik heb daarvoor wiskundige informatie nodig, om de versnelling te berekenen. En dan d.m.v. integreren de snelheid. Ik weet alleen niet zo goed hoe dat allemaal in zijn werk gaat.

Deze site is wat ik eigenlijk bedoel, alleen moet ik nog formules hebben:
http://www.scholierenlab.tudelft.nl/forum/fm/topic.asp?TOPIC_ID=1408

Van deze site weet ik nog niet welke formules ik moet hebben. Kan iemand die verzinnen die verstand heeft van gyroscopen? Of misschien een opstapje/tip geven?

Alvast bedankt!

(Ik vond ook hier informatie, maar die is te ingewikkeld:
http://inwfnu07.rug.ac.be/practicum/P8Gyro.htm )
Anton
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 1 april 2004

Antwoord

Hallo Anton,

Ik heb op de door jou genoemde site gekeken en ga er dus vanuit dat de termen INS en IMU zoals daar uitgelegd bekend zijn. Jij vraagt nu formules voor het berekenen van de versnelling. Als ik echter de genoemde site lees, dan zie ik dat daar staat dat er gebruik wordt gemaakt van (drie) versnellingsopnemers. De versnelling wordt dus gewoon gemeten. Het enige probleem daarbij is, dat het in het geval van IMU niet ten opzichte van een vast assenstelsel is, maar dat je nog moet omrekenen van de coordinaatassen verbonden aan het vliegtuig.

Eerst even voor INS:
In dit geval meet je de drie versnellingen (zeg a,b en c) op een platform dat gestabiliseerd wordt door een gyroscoop (of waarschijnlijk door twee), zodat het altijd in dezelfde orientatie staat. In dat geval blijven de assen dus altijd hetzelfde en de snelheden (zeg u,v en w) ten opzichte van die assen vindt je door integratie:
u = ò a dt, v = ò b dt en w = ò c dt.
En vervolgens vindt je de positie (x,y,z) door deze snelheden weer te integreren:
x = ò u dt, y = ò v dt en z = ò w dt.
Niets anders dan in 1 dimensie dus, maar dan drie keer.

Voor IMU wordt het een stuk ingewikkelder en ik vraag me af of je dit werkelijk wilt. Ik vraag me af of het wel zin heeft om je dit ingewikkelde antwoord te geven, maar ik zou niet weten hoe het eenvoudiger moet: het is wel zo handig als je bekend bent met matrix-vermenigvuldiging:

In dit geval worden de drie versnellingen (zeg a,b en g) gemeten ten opzichte van het vliegtuig. Deze moet je terugrekenen naar versnellingen ten opzichte van een vast assenstelsel. Dat kan als je de orientatie van het vliegtuig kent. Dat wordt meestal aangeduid met de engelse termen yaw, pitch en roll. Daarbij is dan yaw de richting waarin de punt van het vliegtuig wijst (van bovenaf gezien, dus in Oost-West-Noord-Zuid-richting), in graden rechtsom gedraaid ten opzichte van de positieve x-as. De pitch is de hoek die de punt van het vliegtuig maakt naar boven (of naar beneden) en de roll tenslotte is de rotatie van het vliegtuig om zijn eigen as (rechtsom positief).
Je kunt de orientatie van het vliegtuig dan ook beschrijven met behulp van een 3D (dus 3x3) rotatie-matrix R, en wel als volgt. Stel je begint met een vliegtuig dat horizontaal staat met zijn punt naar de positieve x-as (dat kan bijvoorbeeld zijn: naar het westen). Dan is R de matrix horend bij de rotatie die op het vliegtuig moet worden uitgevoerd om hem in de huidige positie te krijgen. Dit kun je schrijven als R = R_yaw·R_pitch·R_roll met

R_roll = R_pitch = R_yaw =

Hier staat in feite dat je eerst s° rechtsom om je as draait (s gebruik ik voor swing), dan e° je neus naar boven richt (e staat voor elevation, let op dat je alleen de as van het vliegtuig echt omhoog draait, niet "omhoog" ten opzichte van het vliegtuig dat inmiddels immers gedraait is) en tenslotte nog t° de punt rechtsom draait in de juiste kompas-richting.
Als je de orientatie van het vliegtuig, en dus deze matrix R kent, dan kun je de gemeten versnellingen a,b en g t.o.v. het vliegtuig omrekenen naar versnellingen a,b,c t.o.v. het vaste assenstelsel via

= R^-1
waarbij het handig is om te weten dat R^-1 = R^t voor rotatie-matrices.
Maar dan moet je natuurlijk nog wel weten wat de orientatie van het vliegtuig, dus wat R is. Ook hierover staat meer op de site die jij aanhaalt: voor IMU-systemen wordt ook de hoeksnelheid gemeten voor de drie assen van het vliegtuig, dus de snelheid waarmee het vliegtuig van orientatie verandert. Het ligt er nu even aan op welke manier dat wordt gedaan of je hier rechtstreeks de snelheden krijgt waarmee de parameters die ik s,e en t heb genoemd veranderen (in dat geval kun je "die gewoon integreren en dan ben je klaar").
Waarschijnlijker is het dat de rates worden bepaalt ten opzichte van de (gedraaide) assen van het vliegtuig. In dat geval is het weer iets ingewikkelder. Stel dat je de turn-rate t (naar rechts/links draaien t.o.v. de orientatie van het vliegtuig), de optrek-rate e (snelheid waarmee je de punt omhoog trekt (of: als je op z'n kop vliegt: omlaag) en de draai-rate s (om je eigen as) meet. Vanuit de standaard-orientatie (dan komt het assenstelsel t.o.v. het vliegtuig overeen met het vaste assenstelsel), beschreven door

R = I =
weet je dan dus wel in welke richting R verandert, namelijk: R' = tT + eE + sS, waarbij T,E en S de afgeleiden zijn van R naar t,e en s bij t=0,e=0,s=0, oftewel:

S = E = T =
Als het vliegtuig zich in een andere orientatie bevindt, dan doe je niets anders dan hier de rotatie R op loslaten;
namelijk, zoals I + dR = I + (t T + e E + s S) dtijd, zo is R + dR = R + (t R·T + e R·E + s R·S) dtijd, oftewel R' = t R·T + e R·E + s R·S. Als je dus t,e en s aan het meten bent, kun je R bijhouden door integratie (dat houdt in dat je elk element van R apart integreert).

Ik vrees dat ik het op papier niet veel eenvoudiger kan formuleren dan dit; als je echt de formules wilt hebben zul je het met matrix-rekening verder uitwerken. Het basis-principe is dat je versnellingen en snelheden integreert zoals in het 1D geval en INS, maar wanneer je meet t.o.v. een assenstelsel dat zich verplaatst en draait, dan moet je telkens terugrekenen naar het vaste assenstelsel. Kort gezegd komt de hele matrix-berekening daar op neer.
Ik hoop dat dit je een aanknopingspunt biedt om mee verder te gaan,

met vriendelijke groet,

Guido Terra

P.S. Bedenk: als je dit nu nog niet snapt, dan kun je het leren! Dit zijn allemaal dingen waar ook tijdens de wiskunde-studie aan de universiteit nog aandacht aan wordt besteed, en dan is dit best te volgen. Zo zie je maar weer waar al die aandacht voor wiskunde allemaal toe kan leiden!

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 7 april 2004