WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Pws complexe getallen

Dit is een reactie op vraag 22158

Maar 3+3i lijkt mij een complex priemgetal. Netzoals 3+7i, 7+3i etc
Sven
Iets anders - woensdag 31 maart 2004

Antwoord

Hallo Sven,

In elke ring kan je priemgetallen aanduiden. Voorbeelden van ringen zijn:
, [i ]={a=bi:a,bÎ}, ...

Eerst maar eens een definitie:
een getal p Î R is priem asa:
1. p is niet inverteerbaar
2. ALS p deelt ab (a,bÎR) DAN p deelt a of p deelt b.

Bijvoorbeeld in : 7 is priem want als 7 een deler is van een product, dan is 7 een deler van minstens één van de factoren. 6 daarentegen is geen priem, want 6 deelt 9*4=36, maar 6 deelt niet 9 en 6 deelt niet 4.

Eis nummer 1. zorgt ervoor dat in , 1 en -1 geen priemgetallen zijn. In [i ] zijn 1,i,1,-i de inverteerbare elementen, dus dit zijn geen priemgetallen.

In [i ] (dit wordt ook wel de ring van Gaussische gehelen genoemt, naar C.F.Gauss) heb je dus ook priemgetallen. De priemgetallen zijn juist die getallen a+bi (a,b geheel), die NIET te schrijven zijn als (c+di)(e+fi) waarbij de twee factoren verschillen van 1,-1,i,-i.

Voorbeeld: 2 is niet priem, want 2=(1+i)(1-i).
3 is wel priem, 1+i ook,...

Nu, hoe kan je van een bepaald getal a+bi zeggen of het priem is of niet? Er zijn twee benaderingen:

1. Hier vind je een principe zoals de zeef van Erathostenes. Dat wil zeggen dat je telkens veelvouden van priemgetallen schrapt, net zoals je dat in kan doen.

2. Je kent waarschijnlijk wel de volgende eigenschap:
De modulus van een product van complexe getallen is gelijk aan het product van de moduli van deze getallen.
De modulus van a+bi is Ö(a²+b²).
Het is handig hier te werken met het kwadraat van de modulus.

Hoe ga je na of bijvoorbeeld 3+4i priem is? Wel, de modulus in het kwadraat is: 3²+4²=25. Als je dus 3+4i wil schrijven als (a+bi)(c+di), dan geldt:
modulus²(3+4i)=modulus²(a+bi) * modulus²(c+di)
Dus 25=modulus²(a+bi) * modulus²(c+di)

Je weet dat de modulus² steeds een natuurlijk getal is. En dat getal mag niet 1 zijn, want dan heb je te maken met één van de inverteerbare getallen 1,-1,i,-i. M.a.w.: je moet die 25 kunnen ontbinden, dat kan hier alleen in 5*5. Dus moet je een a+bi en een c+di vinden die allebei modulus²=5 hebben, dus a²+b²=5 en c²+d²=5.

Je ziet dat a=±2, b=±1, c=±2, d=±1 hieraan voldoet. Probeer dan eens een ontbinding te vinden, en na wat proberen vind je dat
(2+i)(2+i)=3+4i

Dus 3+4i is niet priem.

En deze truc kan je toepassen voor elk element: bereken de modulus², en probeer dat getal te ontbinden in twee getallen die je kan schrijven als a²+b². Als dat niet kan, heb je zeker een priem. Bijvoorbeeld 2+3i: de modulus² is 4+9=13, dat kan je niet ontbinden, dus 2+3i is priem.

Of nog:
3+3i (jouw vb): modulus²=9+9=18=2*9
met 2=1²+1² en 9=3²+0²
Probeer dus eens 1+i en 3, inderdaad: 3+3i=3(1+i) dus is niet priem.

3+7i: modulus²=9+49=58.
Ontbindingen: 2*29 met 2=1²+1² en 29=5²+2²... Kan je nu een ontbinding geven van 3+7i, en dus bewijzen dat dit geen priem is?

(Alledrie je voorbeelden waren dus geen priemgetallen)

Je kan dan nog verschillende deelvragen onderzoeken, zoals: geef alle priemen met modulus²100;
of bewijs dat er oneindig veel priemen zijn in [i ];
of bewijs dat gehele getallen die priem zijn in [i ], ook zeker priem zijn in , maar niet noodzakelijk omgekeerd;
of bewijs dat als a+bi priem is, dan ook a-bi en b+ai en b-ai;
of...

Succes nog,
Groeten,

Christophe.

Met dank aan hk en MvdH

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 4 april 2004