WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bewijs van een uitdrukking

Als de hoeken van een driehoek voldoen aan de uitdrukking van cos3a + cos3b + cos3g = 1, dan is één van de hoeken 120 graden. Bewijs

ik ben onmiddelijk begonne met simpson toe te passe, maar achteraf bleek dat niet zo'n verstandig idee miss kan iemand mij helpe met mijn zoektocht

dank u
jos
3de graad ASO - zondag 28 maart 2004

Antwoord

Toch zou ik het wel met Simpson doen.
Verder moet je je bedenken dat het om een driehoek gaat, dus dat a+b+g=180°.
Nemen we voor het gemak even aan dat a de grootste hoek is.
cos(3a)+cos(3b)+cos(3g)=
cos(3a)+2cos(1¹/₂(b+g))cos(1¹/₂(b-g))
Gebruik nu b+g=180°-a:
cos(3a)+2cos(270°-1¹/₂a)cos(1¹/₂(b-g))=
cos(3a)-2sin(1¹/₂a)cos(1¹/₂(b-g))=
1-2sin²(1¹/₂a)-2sin(1¹/₂a)cos(1¹/₂(b-g))

Dit zou gelijk moeten zijn aan 1, maar dan:
sin²(1¹/₂a)+sin(1¹/₂a)cos(1¹/₂(b-g))=0, dus
sin(1¹/₂a).(sin(1¹/₂a)+cos(1¹/₂(b-g))=0, dus
sin(1¹/₂a)=0 of sin(1¹/₂a)+cos(1¹/₂(b-g)=0
Uit sin(1¹/₂a)=0 volgt a=120°.
Rest om aan te tonen dat sin(1¹/₂a)+cos(1¹/₂(b-g))=0
geen andere oplossingen heeft.
In principe kun je hiervoor weer de gelijkheid a+b+g=180° gebruiken.
Probeer dat zelf maar eens uit te zoeken.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 29 maart 2004