WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Conforme afbeeldingen

Beste meneer/mevrouw,

Mijn vraag is hoe ik de volgende gebieden bijectief en conform afbeeldt op het bovenhalfvlak(ik werk in het uitgebriede complexe vlak)Dus ik moet een functie zoeken die het desbetreffende gebied afbeeldt op het H={z in het complexe vlak en Im z0}. Ik mag gebruik maken van de volgende elementaire complexe functies:
f(z)=z^n, f(z)=z^(1/n), f(z)= az+b/cz+d(mobiustransformatie), f(z)=1/2(z+1/z)(Joukowski functie) en f(z)=e^z.

1) De strook 0x1 met uitzondering van het lijnstuk 0xh, y=o en h1. Ik heb de volgende oplossing maar een stukje ontbreekt:
de gezochte functie is f=f6°f5°f4°f3°f2°f1(dus eerst f1 toepassen dan f2 etc)met
f1(z)=e^(pi*i/2), de strook roteren
f2(z)=pi*z
f3(z)=e^z
f4(z)=1/2*(z+(1/z))
f5(z)=?
f6(z)=z^(1/2)
f5 ontbreekt dus

2)Het gebied begrensd door de cirkels C1 met middelpunt 1 en straal 1 en de cirkel C2 met middelpunt 2 en straal 2, met uitzondering van het lijnstuk y=o, 2=x=a (a4).

3) De halve strook 0xpi, y0 met uitzondering van de straal x=pi/2, y=h (h0).
29 en 3 wist ik helemaal niet.

Zou u mij misschien hiermee kunnen helpen? Alvast heel erg bedankt voor u geduld, tijd en moeite.

Heel veel groeten,

Viky
viky
Student universiteit - zaterdag 20 maart 2004

Antwoord

Hallo, Viky. Het is dertig jaar geleden dat ik me met complexe functietheorie heb bezig gehouden. Ik heb het antwoord op de derde vraag nog niet en geef de andere antwoorden onder voorbehoud, maar ik wil u niet langer laten wachten.

Volgens mij moet f5(z) gelijk zijn aan (z-cos(h))/(1-z), om twee redenen: ten eerste is het een mobiustransformatie, en die had u nog niet gebruikt. Ten tweede wordt het uitzonderingslijnstukje op die manier onder de samenstelling van de eerste vijf afbeeldingen op de positieve x-as afgebeeld. Dan beeldt f6(z) tenslotte het vlak-zonder-de-positieve-x-as af op het bovenhalfvlak.
Wacht even, 0 zit wel in het beeld. Moet het uitzonderingslijnstukje (0,h] zijn ipv (0,h)?

Bij de tweede vraag kan men eerst 1/z toepassen. De cirkels gaan dan over in de lijnen x=1/2 en x=1/4, en het interval (2,a) in (1/a,1/2). Het gebied tussen de twee cirkels gaat over in het gebied tussen de twee lijnen. Schuift men dat hele gebied vervolgens over -1/2 (translatie), en past men daarna de vermenigvuldiging met -i toe (rotatie met de klok mee), dan heeft men een situatie die vergelijkbaar is met in de eerste vraag na toepassen van f1(z).

Ik hoop dat u hiermee verder kunt. Laat u het weten?
Groeten. Hennie

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 27 maart 2004