WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bol Spiraal (fout in Mathworld)

Beste mede-beantwoorder,
Onlangs kwam mijn oom weer met een probleem. Hij houdt van flight simulators en dus van vliegen op de PC. Nu wilde hij graag weten als een vliegtuig op de aarde vertrekt onder een bepaalde hoek t.o.v. de noordpool, hoe dan de ligging te bepalen is na een bepaalde afstand gevlogen te hebben.
Ik ben op mathworld op onderzoek uitgegaan en kwam bij:
http://mathworld.wolfram.com/SphericalSpiral.html
Hier staat de uitleg voor een bol spiraal met de volgende coordinaten:
x = sin(t) cos(c)
y = - sin(c)
z = - sin c
Hierbij is:
c = tan^-1(at)
en is a een constante, en is een speciaal geval van een loxodrome.

Nu wilde ik met Maple eerst maar eens kijken wat er zou gebeuren als ik hier een pointplot van zou maken. Ik definieerde de drie coordinaten als een functie, schreef een procedure waarbij je een a kon invoeren en die dan de punten op 't' genereerde. Ik gebruikte verschillende a's en liet t lopen van -10 tot 10 (en nog enkele andere instellingen getracht), dit genereerde een punten lijst, maar helaas leek dit in de verste verte niet op de bol spiraal.

Mijn vraag is dus:
a) 'a' moet een constante zijn, maar waar staat deze voor
b) wat is de betekenis van 't'.

Als ik even nadenk zouden er 2 constante moeten zijn en 1 variabele.
Mijn vermoeden is dat 'a' de hoek moet zijn en 't' het tijdstip 't', maar dan mis ik nog als constante de radius van de bol.

Wie weet hier meer van?

Opmerking:
Voor de aarde gaan we er van het gemak vanuit dat deze een perfecte bol is.

Alvast bedankt voor jullie reactie.

M.v.g.
PHS
peter
Docent - donderdag 18 maart 2004

Antwoord

Hoi Peter,

hk had er al op gewezen dat je de formules uit mathworld niet goed had overgenomen in de vraag. Na flink wat rekenwerk ben ik er nu zeker van dat de formule mathworld ook fout is. Een goede parametrisatie van loxodromen wordt gegeven door:
x = cos($\lambda$) cos($\phi$),
y = sin($\lambda$) cos($\phi$),
z = sin($\phi$),
en $\lambda$=t, $\phi$=arctan(sinh(at)). De sinh is het verschil met de formule op mathworld; dichtbij de evenaar is hun benadering dus wel goed. a is dan de tangens van de hoek met de breedtegraden, oftwel 1/tangens van de koers t.o.v. het noorden, t is natuurlijk niets meer dan een parameter, maar je zou het natuurlijk kunnen omzetten naar de padlengte, want die wordt gegeven door s=(1+a²)/a·tanh(at), met s de lengte langs de loxodroom gerekend vanaf de evenaar.

Om deze formule af te leiden maak je gebruik van de Mercator-projectie (zie Mercator Projectie op Mathworld), i.h.b. de inverse transformatie $\lambda$=x+$\lambda$₀, $\phi$=arctan(sinh(y)), waarbij x en y even de coordinaten op de Mercator-kaart zijn. Omdat loxodromen rechte lijnen zijn in Mercator-projectie zijn die te parametriseren door x=t en y=at (zie hier de betekenis van a als tangens) en de terugtransformatie geeft dan de loxodroom in poolcoordinaten, die dan in cartesische coordinaten de bovengenoemde vorm krijgen.
Tenslotte kun je de verkregen formule ook rechtstreeks checken (tenslotte heb ik de formules voor de Mercator-projectie van Mathworld gebruikt, en die blijken de waarheid niet in pacht te hebben ) door de locale 'snelheidsvector' te bepalen en dan het inproduct te nemen met de vector loodrecht op het vlak door het midden van de aarde, de noordpool en het punt op de kromme (alternatief is om de locale noordrichting langs het oppervak te bepalen). Dit inproduct blijkt nu inderdaad constant te zijn.
Veel plezier ermee,

Guido Terra

P.S. Wat betreft het feit dat je er geen goede spiraal uit kreeg in Maple: check even of je daar niet dezelfde typefout had gemaakt als in de vraag. Verder zou ik me kunnen voorstellen dat je wat meer punten moet gebruiken om een goed beeld te krijgen. Zelf kreeg ik (in Maple) prima plaatjes met de volgende code:

with(plots);
plota := 1/5; plotR := 1;
c := arctan(sinh(a·t));
x := R · cos(t)·cos(c);
y := R · sin(t)·cos(c);
z := R · sin(c);
plotx := subs(a=plota, R=plotR, x);
ploty := subs(a=plota, R=plotR, y);
plotz := subs(a=plota, R=plotR, z);
Pcurve := spacecurve([plotx,ploty,plotz], t=-30..30, numpoints=500, color=blue, thickness=2):
Psphere := plot3d([sin(theta)·sin(phi), cos(theta)·sin(phi), cos(phi)],theta=0..2·Pi,phi=0..Pi):
display([Pcurve,Psphere], axes=boxed, scaling=constrained);

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 19 maart 2004