WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Lesliematrix en voorspellingsmatrix

Dit is de laatste vraag die ik heb over dit hoofdstuk
van een insectenpopulatiesoort wordt de halfjaarlijkse verandering in de bevolkingsopbouw gegeven door de populatievoorspellingsmatrix L
         van
       0    0    0    10
       0.8  0    0    0
naar   0    0.6  0    0
       0    0    0.25 0
a to d waren een koekje
bij b werd de samenstelling gegeven achtereenvolgens 500, 160, 60 en 50 exemplaren.
maar toen kwam e:
De insectenpopulatie is nogal schadelijk. Met behulp van een bestrijdingsmiddel wordt de vruchtbaarheid aangetast. Na toepassing van dit middel blijkt de populatieomvang over een periode van 2 jaar niet te veranderen.
Stel de nieuwe matrix L op. Rond de elementen van L zo nodig af op 2 decimalen.

ik weet dat die 10 veranderd en de rest niet omdat de 10 te maken heeft met de nakomenlingen
het antwoord is
         van
       0    0    0    8.33
       0.8  0    0    0
naar   0    0.6  0    0
       0    0    0.25 0
ik weet niet hoe ze aan die 8.33 komen
kunt u me nog een keer helpen?

gestresst meisje uit vwo 6
Tahnee
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 13 maart 2004

Antwoord

Noem het getal waar je die 10 door wilt vervangen even a.
De matrix geldt voor een half jaar. We willen iets zeggen over de populatie na 2 jaar dus we moeten de matrix vier keer toepassen.
We hebben vier deelpopulaties: I, II, III en IV (van jong naar oud).
Voor I geldt: De aantallen worden bij de opeenvolgende overgangen achtereenvolgens vermenigvuldigd met 0.8, 0.6, 0.25 en a, dus met 0.8·0.6·0.25·a, dus met 0.12a.
Voor II geldt: de aantallen worden vermenigvuldigd met 0.6·0.25·a·0.8=0.12a.
Voor III geldt: de aantallen worden vermenigvuldigd met
0.25·a·0.8·0.6=0.12a.
Voor iv geldt: de aantallen worden vermenigvuldigd met
a·0.8·0.6·0.25=0.12a.

Omdat alle deelpopulaties zijn vermenigvuldigd met 0.12a is de totale populatie na 2 jaar vermenigvuldigd met 0.12a.
Omdat je wilt dat de populatie na 2 jaar niet is veranderd moet 0.12a gelijk zijn aan 1.
Dus a=1/0.12$\approx$8.33

Je kunt dit antwoord controleren door de matrix

in je rekenmachine in te voeren en daar de 4e macht van uit te rekenen. Je krijgt dan een matrix met op de hoofddiagonaal 4 keer het getal 0,9996 en verder nullen.
Dat hier niet 4 keer een 1 staat komt omdat die 8.33 is afgerond.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 13 maart 2004