WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Waarom Fibonacci in driehoek van Pascal?

Dus niet hoe, want dat staat overal wel uitgelegd, maar waarom?
Johann
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 11 maart 2004

Antwoord

Beste Janneke

De volgende uitleg vond ik zelf aardig, ik hoop jij ook.
Zoals je wellicht weet ligt de oorsprong van de rij van Fibonacci bij de ontwikkeling van aantallen konijnen:
Voor het gemak gebruik ik een variant, ik let alleen op de vrouwtjes (en meisjes).
Een (vrouwtjes-)konijn krijgt elke maand een dochter.Deze dochter krijgt na twee maanden zelf de eerste dochter, enz., enz.
Als je let op het totaal aantal konijnen krijg je de bekende rij van Fibonacci: 1 1 2 3 5 8 ...
Maar let een op de generaties : De stammoeder is de eerste generatie, haar kinderen de tweede, haar kleinkinderen de derde, enz. Je kunt dan een overzicht maken als hieronder:

Als je diagonaal leest (van linksboven naar rechtsonder) herken je wellicht getallen uit de driehoek van Pascal die normaal op een rij staan (Let op de kleurtjes), bijv 1 4 6 4 1
Dit is geen toeval. De getallen in de driehoek van Pascal kun je krijgen door de twee getallen die daar (rechts en links) boven staan op te tellen. Die getallen staan in bovenstaand schema op een iets ander plek, maar het principe is het zelfde. Zo is de 6 (in het gele hokje) het aantal konijnen van de 3e generatie in maand 7. Dit aantal is gelijk aan het aantal kleinkinderen (3e generatie) dat er een maand gelden (maand 6)ook al was (3) plus het aantal jongen dat net dat net geworpen is door de kinderen van de stammoeder (2e generatie) die er twee maanden geleden waren (dat zijn er ook 3 - de andere blauwe 3).
In feite is deze tabel een soort gedraaide driehoek van Pascal. Als je nu de getallen in één kolom optelt krijg je het totaal aantal konijnen in en bepaalde maand. De vetgedrukte rij getallen vormen dus de rij van Fibonacci.

Zie The Fibonacci Numbers in Pascal's Triangle

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 11 maart 2004