WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Setjes trekken uit een alternatief kaartspel

Een kaartspel bestaat uit 8 kaarten met de letter A, 8 met de letter B, 7 met C en 7 met D, 8 met E en tot slot 7 met F. Iedere speler krijgt 4 kaarten blind gedeeld. De bedoeling is om setjes te vormen van minstens 3 kaarten met opeenvolgende of gelijke letters: AAB, of ABC, ABB, CDD, ABBC, CDDD, CDEF etc etc, alles mag. Nu is de vraag: hoe groot is de kans dat ik een setje van 3 of 4 kaarten heb zitten bij mijn vier blind gedeelde kaarten?

Ik heb geen idee hoe ik te werk moet gaan; ik heb de volgende benadering geprobeerd: de eerste kaart is altijd goed (b.v. C), kans =1, de tweede kaart mag dan diezelfde kaart zijn of eentje die daaraan grenst (B,C of D), dus 3 goede mogelijkheden uit 6 verschillende kaarten = ongeveer 1/2 (met natuurlijk als kanttekening dat je ook als eerste kaart een A of F kan trekken, waarna er geen 3 maar 2 andere letters getrokken mogen worden (A en B, of E en F) = 1/3). En dan zo verder. Maar dat werk niet, omdat je hierbij een volgorde van trekken incalculeert die in het echt niet van toepassing is.

Als je b.v. begint met een A zou volgens mijn berekening alleen een A en een B goed zijn als 2e kaart, maar in het echt zou een C ook prima zijn als je 3e of 4e kaart wel een B is, want dan heb je toch de set ABC te pakken.

Ik hoop dat iemand me verder kan helpen, maar het is volgens mij best een lastige opgave!
Barbar
Student universiteit - donderdag 26 februari 2004

Antwoord

Het zal inderdaad wel wat rekenwerk worden.

Mij lijkt het eenvoudigste om de gevallen te tellen waarin je geen setje kan vormen.

Dat kan alleen gebeuren als je twee verschillende letters hebt, of drie, of vier. Als je slechts één letter hebt, heb je zeker een 4-set, vb AAAA.

- Twee verschillende letters, dus twee paartjes. Mogelijkheden: AACC, AADD, AAEE, AAFF, BBDD, BBEE, BBFF, CCEE, CCFF, DDFF.

- Drie verschillende letters: één paartjes en twee enkele. Hierin kan je twee categorieën ontdekken: gevallen zoals ACE, waarbij je elk van de drie dubbel mag nemen, of gevallen als ABE, waarbij je enkel de E dubbel mag nemen. In het eerste geval: ACE, ACF, ADF, BDF.
In het tweede geval: ABD, ABE, ABF, ACD, ADE, AEF, BCE, BCF, BDE, BEF, CDF, CEF.

- Vier verschillende letters: ABDE, ABDF, ABEF, ACDF, ACEF, BCEF.

Nu komt het er enkel nog op aan te tellen op hoeveel manieren je al deze combinaties kan maken, ik zal binnen elke categorie een voorbeeld geven.

Type AACC: Kies twee van de acht A's en twee van de zeven C's, dus: C(8,2) * C(7,2) = (8*7/2)*(7*6/2)=28*21=588.

Type ACE: AACE + ACCE + ACEE
Dus: C(8,2)*7*8 + 8*C(7,2)*8 + 8*7*C(8,2)

Type ABD: ABDD
Dus: 8*8*C(7,2)

Type ABDE: 8*8*7*8

Dan nog alles samentellen, en aftrekken van het totaal aantal mogelijke viertallen. En dat aantal is: C(45,4)=(45*44*43*42)/(4*3*2*1)

Ik hoop dat dit min of meer klopt,

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 26 februari 2004