WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Gebieden maken met cirkels

Je kan met cirkels een maximaal aantal gebieden maken. zo kan je met 1 cirkel 2 gebieden maken en met 2 cirkels weer 4 gebieden enz. nu weet ik dat het eerste verschil (in antwoorden van vlakken) telkens gelijk oploopt met : 2, 4 , 6, 8 enz. ik weet dat het tweede verschil telkens 2 is en dat de formule waarmee je dit kan berekenen een kwadratische is. nu wil ik dus de formule weten waarmee ik het maximaal aantal gebieden kan bepalen als ik weet hoeveel cirkels ik heb. misschien dat jullie me kunnen helpen. ik hoop dat ik het goed heb uitgelegd. bij voorbaat dank.
Tjebbe
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 13 maart 2002

Antwoord

Je hebt blijkbaar de volgende tabel gevonden:
cirkels     gebieden(max)    toename
   1              2  
   2              4              2
   3              8              4
   4             14              6
   5             22              8 
Dat klopt ook zie: PlaneDivisionbyCircles.html

Wanneer de verschillen lineair oplopen (anders gezegd de verschillen van de verschillen constant zijn) gaat het inderdaad om een kwadratisch verband
Om dit verband te vinden is het verstandig om eerst eens op de rij van kwadraten te letten: 1, 4, 9, 16,.. met de verschillen 3,5,7,...(de oneven getallen boven 1- wanneer je begint bij 0x0 hoort 1 er ook bij)
De verschillen zijn echter 2,4,6,8,.. (de even getallen.)
Je kunt dit oplossen door van de uitkomsten n af te halen dus n^2-n of wat op het zelfde neerkomt n*(n-1) te nemen (in plaats van n*n). Wanneer je dat doet krijg je rij:
0,2,6,12,20,.. Nu is het nog een kleine stap om de gewenste rij te krijgen: bij alles 2 optellen.
Zo kom je dus tot A(n)=n^2-n+2
Bij wisweb kun je een programmaatje (applet) vinden waarmee zelf vrij makkelijk al proberend dit soort formules kunt vinden.
(bijv. de driehoeksgetallen: driehoeksgetallen 1,3,6,10,15,... )
Het heet stroken (met etiketten)
Succes !
Zie WisWeb

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 13 maart 2002