WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Hoe bepaal je de vergelijking van een schuine asymptoot?

Om de schuine asymptoot te vinden, moet je een staartdeling maken met de functie. Ik weet niet precies hoe dit moet dus zouden jullie het misschien kunnen uitleggen? Verder vraag ik me af of er geen andere manier is om achter de schuine asymptoot te komen, want deze manier lijkt me niet heel handig en bovendien niet erg exact.

Groetjes en alvast bedankt
Rolien
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 16 februari 2004

Antwoord

Een functie heeft een schuine asymptoot als hij te schrijven is in de vorm:
y=ax+b+iets dat voor grote x tot nul nadert.

Bijvoorbeeld f(x)=7x-3+¹²/_x-7 heeft als schuine asymptoot y=7x-3 omdat
¹²/_x-7 tot nul nadert als x nadert tot oneindig of -oneindig.
Zo heeft ook f(x)=2x-7+2^x schuine asymptoot y=2x-7 omdat 2^x tot nul nadert als x nadert tot -oneindig.

Het hoeft niet altijd dat de functie geschreven is in een vorm waarbij je de schuine asymptoot zo makkelijk kunt aflezen.
Bijvoorbeeld de functie f(x)=7x-3+¹²/_x-7 kan ook worden geschreven als:
^{(7x-3)(x-7)+12}/_x-7=^7x²-52x+33/_x-7.
De kunst is dan de eenvoudiger vorm terug te vinden.

Laten we eens kijken naar de functie f(x)=^3x²+2x-1/_x+2. Kunnen we deze terugherleiden?
f zou dan te schijven moeten zijn in de vorm: y=ax+b+^c/_x+2.
Wanneer we alles onder één noemer brengen krijgen we:
y=^{(ax+b)(x+2)+c}/_x+2=
^{ax²+2ax+bx+2b+c}/_x+2=
^{(ax²+(2a+b)x+2b+c)}/_x+2.
En dit moet gelijk zijn aan:f(x)=^3x²+2x-1/_x+2.
Kennelijk moetdan gelden
a=3
2a+b=2
2b+c=-1
Uit a=3 volgt 2.3+b=2, dus b=-4
Hieruit volgt dan weer 2.-4+c=-1, dus c=7.
Dus f(x)=3x-4+⁷/_x+2.
Hieruit volgt dat f schuine asymptoot y=3x-4 heeft want 7/(x+2) nadert tot 0 voor grote x.

En dan nu die staartdeling. Dat is niets anders dan een maniertje om bovenstaande vlot uit te voeren:
x+2/3x²+2x-1\3x-4
    3x²+6x        want 3x(x+2)=3x²+6x
     ------
       -4x-1      want 3x²+2x-(3x²+6x)=-4x en -1 "aanhalen"
       -4x-8      want -4(x+2)=-4x-8
       -----
           7      want -4x-1-(-4x-8)=7
Dus f(x)=3x-4+⁷/_x+2

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 16 februari 2004