WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Complexe getallen, bewijs stelling van de Moivre

beste ...,
Wij moeten voor ons profielwerkstuk de stelling van de moivre bewijzen.
We komen er wel uit als z=1 maar het moet ook wel gelden voor z=2 en de rest. Onze leraar gaf ons een hint van kijk eens naar volledige inductie in het b2 boek. Wij gedaan, alleen dan is het nog best lastig.
Zouden jullie me kunnen helpen met het bewijzen volgens volledige inductie?
Mvg. Linda en Lydia

P.S.
Ik heb deze site gevonden, maar dit is niet volledig naar mijn zin (of ja die van de leraar), ook andere sites geven alleen voor z=1 het bewijs. Zie stelling van de Moivre.
Linda
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 9 februari 2004

Antwoord

Het gaat dus om de inductiestap.
Aangenomen dat de stelling juist is voor k, moeten we de juistheid aantonen voor k+1.
Dus:
z = r·(cosF + i·sinF)
z^k = r^k·(cos(k·F) + i·sin(k·F))

Nu voor k+1:

z^k+1 = z^k·z
= r^k·(cos(k·F) + i·sin(k·F))·r·(cosF + i·sinF)
= r^k+1·(cos(k·F) + i·sin(k·F))·(cosF + i·sinF)
Nu is het nog een kwestie van de haakjes wegwerken, en gebruik maken van de juiste gonio-formule.
Lukt je dat zelf?
succes,

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 9 februari 2004