WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Meetkundige betekenis

Hallo daar,
Voor wiskunde moeten wij een PO maken, hier in staat een vraag:

Gegeven is de complexe functie
F:Z8·⁴Öz
(vierdemachtsÖ van z)
Onderzoek de meetkundige betekenis van deze functie. Ga hierbij uit van een willekeurig complex getal z = a + bi en onderzoek wat het beeld van z voor eigenschappen heeft vergeleken met het orgineel. (wat wordt het argument, wat wordt de modulus?)

Nou begrijp ik dat bij z = a + bi, a 8 keer groter wordt want bij een functie waarbij z wordt vermenigvuldigd met een reëel getal dat er dan een vermenigvuldiging plaats vindt tov 0 met factor a. Dus met 8.
Maar wat gebeurt er met de ⁴Ö van z, want hier ga ik de mist in en begrijp ik het niet.

Alvast bedankt voor de moeite
Joost
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 9 maart 2002

Antwoord

Je kunt ieder complex getal schrijven in polaire notatie:

z = |z|·e^i·arg(z)

Dan is |z| de afstand van z tot de oorsprong 0, en arg(z) (het argument van z) de hoek die z maakt met de positieve horizontale (reële) as.

De vierdemachtswortel ⁴(z) wordt nu gegeven door:

⁴(z) = ⁴(|z|)·e^i·arg(z)/4

Hier moeten we goed opletten, want arg(z) is niet eenduidig gedefinieerd. Je kunt immers bij arg(z) veelvouden van 2 p (radialen) optellen zonder dat de hoek met de positieve horizontale as verandert. Maar als je vervolgens arg(z) deelt door 4 dan levert dat verschillen van p /2 op voor het argument van de vierdemachtswortel! Er zijn dus vier mogelijke antwoorden.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 11 maart 2002