WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

De poisson verdeling

Ik kom er niet uit mijn kans is nul en dat moet niet,
Er zijn 17001 rijtjes van vijf getallen uit 1 tot en met 45 ( random gekozen ) Bereken onder deze veronderstelling een poisson benadering voor de kans dat een rijtje vier keer voor komt. Aanwijzing ik moet het probleem op vatten als een verjaardagsprobleem met 45 nCr 5 mogelijke geboortedagen en 17001 personen.

Maar als je de verjaardagsprobleem vergelijking er bij pakt gaat het alleen maar om 2 of meer en niet met 4.

en daar ligt mijn probleem
groetjes

meinde
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 10 januari 2004

Antwoord

Hallo Meindert,

Het gaat over een steekproef van n ( = 17001 ) uit een verzameling van N (= 45 boven 5 = 1 221 759 ) rijtjes.

Omdat het een steekproef met terugleggen is kan een rijtje meer dan eens voorkomen in de steekproef. Je wilt weten hoe groot de kans is dat (minstens ) één rijtje 4 keer voorkomt. Heel klein denk ik.

Neem een speciaal rijtje (bv 1,2,3,4,5) Het aantal keren X dat dit rijtje voorkomt in de steekproef is binomiaal verdeeld met p = 1/ N, en verwachting E(X) = np = n/N = 0,0139 . Een binomiale verdeling met een grote n en een kleine p wordt goed benaderd door een Poissonverdeling met dezelfde verwachting lambda = np.

Volgens die benadering is de kans dat een speciaal rijtje 4 keer voorkomt gelijk aan:

[(lambda)⁴ ] / 4! exp( - lambda) = 1,54 / 10⁹.

Voor ieder rijtje is dit de kans om 4 keer voor te komen. De verwachting van het aantal Y rijtjes dat 4 keer vookomt is N keer zo groot: E(Y) = 0, 0018.. Als E(Y) zo klein is dan kan de kans P(Y $>$ 0 ) ook niet groot zijn.( niet meer dan 0, 0018) Als je aanneemt dat de verdeling van Y ook ongeveer Poisson is (geen wilde aanname) dan is P(Y=0) = exp (- 0,0018) = …en dus P(Y$>$ 0) = 1 – P(Y = 0) =…inderdaad ongeveer 0.0018

Opmerking : Omdat die kans zo klein is is er reden om te twijfelen aan de aanname dat al die 17000 rijtjes helemaal random gekozen zijn als blijkt dat er rijtjes zijn die 4 of meer keer voorkomen.

Hopelijk heb je hier iets aan.

JCS

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 12 januari 2004