WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Voetbalpool - hoe de pot verdelen ?

Goedemorgen,

Ik probeer een formule te vinden om geld te verdelen over mensen die iets gewonnen hebben in een pool. De verdeelsleutel is: 9 goed is 40%, 8 goed = 30 % en 7 goed = 20 % van de inleg.
Bij een inleg van €10,- is de verdeling duidelijk wanneer 3 mensen resp. 9 (€4), 8 (€3)en 7 (€2) goed hebben. Maar wat wanneer er 2 met 9 goed, 1 met 8 goed en 2 met 7 goed zijn ?

B.v.d.
Dirk
Dirk
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 9 januari 2004

Antwoord

Hoi,

Heel interessant probleem... Op basis van onze mails stel ik voor om het eerst iets algemener te bekijken.

Je hebt een verzameling van n deelnemers die je kan partitioneren in groepen G_i van telkens n_i deelnemers. Er is een totale inzet van I, waarvan een fractie h=90% wordt uitgekeerd. Er is dus hI te verdelen over de deelnemers. De deelnemers in de eerste k groepen G_i krijgen respectievelijk een bedrag b_i per persoon. Hierbij geldt dat b_ib_i+1 voor i=1..k-1. De vraag is hoe we die k bedragen b_i best kunnen bepalen.

We hebben uiteraard: sum(n_i.b_i,i=1..k)=hI. We definiëren r_i=b_i/b₁ voor i=1..k. Deze r_i stellen dus voor welke deel b_i vormt van b₁. We hebben uiteraard dat r_ir_i+1 voor i=1..k-1. In de praktijk verwacht je dat je 10 keer meer geld wint als de kans 10 keer kleiner is. Op basis van dit princiepe kan je bijvoorbeeld r_i=p(G₁)/p(G_i) nemen. Onze vergelijking kunnen we dan herschrijven als: sum(n_i.r_i.b₁,i=1..k)=hI. En met s=sum(n_i.r_i,i=1..k) hebben we dus dat b₁=hI/s zodat voor i=1..k en uiteindelijk dat b_i=r_ihI/s.

Samengevat:
1. Bepaal k en h
2. Bepaal de coëfficiënten r_i=p(G_i)/p(G₁) voor i=1..k
3. Bepaal n en I
4. Bepaal de partitionering {n_i}
5. Bepaal s=sum(n_i.r_i,i=1..k)
6. Bepaal b_i=r_ihI/s voor i=1..k
(1 en 2 kunnen op voorhand, 3 na afsluiten van de inlegperiode, vanaf 4 pas nadat de wedstrijden gespeeld zijn)

Er kunnen uitzonderlijk complicaties zijn en die moeten we dan opvangen, zoals: wat als iedereen in 1 groep zit die niet in de prijzen valt? Het reglement van het spel moet dan uitsluitsel geven over hoe de pot te verdelen is...

In dit geval met voetbalpool zijn er 10 wedstrijden met 3 mogelijke uitslagen per wedstrijd (winnen, verliezen of gelijkspel). We keren enkel een prijs uit aan spelers die 10, 9, 8 of 7 wedstrijden juist voorspelden. Dus is k=4 en we kunnen r_i=1/3^i-1 nemen. Er wordt h=90% van de pot I uitgekeerd. Na een wedstrijd hebben we:
n₁ spelers met 10 juist, n₂ spelers met 9 juist, n₃ spelers met 8 juist, n₄ spelers met 7 juist.
We vinden dan: s=n₁+n₂/3+n₃/9+n₄/27 en b₁=hI/s, b₂=hI/3s, b₃=hI/9s en b₄=hI/29s...

Groetjes,
Johan

PS: Dit kan je makkelijkst in Excel berekenen...

andros

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 13 januari 2004