WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Integraalfunctie: t = x?

Stel dat V de vectorruimte is van alle polynomen met graad =2, en dat 1, x, x² een basis is.
A is de lineaire transformatie A: p(x) - 1/x · òp(t)·dt, met p(x) zo'n polynoom in x en de integraal bepaald van 0 tot x.
Nu moet ik de matrix zoeken van deze lineaire afbeelding, en deze vind ik ook correct door telkens p(t) te vervangen door een basisvector. Bv de 1e basisvector: p(x) = 1 = p(t) = 1. Dit vul ik dan in de integraal in, en rekenen maar.

Mijn vraag is: waarom mag ik aannemen dat de t en de x hier gelijkwaardig zijn? Als ik die bepaalde integraal in functie van zijn primitieven schrijf krijg ik: [P(x) - P(0)], hiermee lijk ik al een stap dichter tot het antwoord op mijn vraag..maar wat met de integratieconstante die bij zo'n primitieve hoort?

Alvast bedankt als u kan helpen.

Mvg
Tom
Student universiteit - woensdag 7 januari 2004

Antwoord

Hoi,

De algemene vorm van vectoren van V is u(x)=a.x²+b.x+c. De transformatie A beeldt u(x) af op v(x)=1/x.int(u(t).dt,t:0..x). Bemerk dat v(x) inderdaad een functie is in x. Om verwarring te vermijden, integreren ze naar t, maar dat betekent niet dat x=t of zo. Je kan toch moeilijk schrijven: v(x)=1/x.int(u(x).dx,x:0..x); hoe zie je dan nog het verschil tussen de x die parameter is van v(x) en de x waarnaar je integreert?

Hoedanook, u(x) wordt afgebeeld op 1/x.[a.t³/3+b.t²/2+c.t, t:0..x]=1/x.[a.x³/3+b.x²/2+c.x-0]=a.x²/3+b.x/2+c.

De transformatie-matrix is dus:
.
Misschien gebruik jij een andere manier om die op te stellen, maar je vraag was naar hoe je transformatie A moest begrijpen. Hopelijk is dat duidelijk nu.

Groetjes,
Johan

andros

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 7 januari 2004