WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Exponentiële functies

Hallo,

Ik heb drie vragen, ze gaan alledrie over exponentiële formules:

1)
Een liter zoutoplossing bevat 50 gram opgelost zout. Steeds wordt 40 % van de oplossing weggegooid, waarna de oplossing wordt aangevuld met schoon water tot een liter. Dit verdunningsproces wordt steeds herhaald.

a) Stel het functievoorschrift Z(n) op van de hoeveelheid zout in grammen na n keer verdunnen.

Dit is me wel gelukt!
Z(n) = 50·0,6ⁿ

b) Plot de grafiek van Z en leg uit waarom deze grafiek niet goed bij bovenstaande beschrijving past.

c) Schets een betere grafiek van het proces.

d) Hoe vaak moet je verdunnen om een oplossing te krijgen waarin minder dan 0,5 gram zout per liter zit ?

Uit b,c en d kwam ik niet uit..Kunt u die mij uitleggen ??

2)
Eau de toilette vervluchtigt exponentieel: per half etmaal verdwijnt 7/8 deel. Bereken de halveringstijd.

Ook hier kwam ik niet uit...Kunt u die mij uitleggen ??

3)
Deze vraag gaat over de rekenregels bij machten.

a) Hoe kun je bewijzen dat geldt:

Ö2 = 2^0,5

En moet je dit bij toetsen gewoon aannemen zonder uitleg te geven ??

b) Bij de vergelijking:

(0,1)^2t = 100·Ö10
(0,1)^2t = 10²·10^0,5
(0,1)^2t = 10^2,5

Voor de volgende stap moet je doen:

10^2,5 = 0,1^-2,5 om gelijke grondgetallen te krijgen. Is dit gewoon een rekenregel die je moet aannemen of hoort hier nog een tussenstap om aan 0,1^-2,5 te komen, want dat heb ik gevonden door een plot, wat niet mag bij deze opdracht.

Ik hoop dat u mij verder kan helpen.
H.
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 5 december 2003

Antwoord

Dat zijn wel weer een hele verzameling vragen....

Bij 1b. Als je de grafiek van y=50·0,6^x tekent krijg je:

En dat is een mooie kromme. Niet erg realistisch, omdat de verdunnig in stappen gaat. De grafiek is anders...

Voor minder dan 0,5 gram moet je uitrekenen:
50·0,6ⁿ=0,5
0,6ⁿ=0,01
log(0,6ⁿ)=log(0,01)
n=log(0,01)/log(0,6)9,02
Dus voor n10 voor het eerst kleiner dan 0,5
Dit kan natuurlijk ook met je GR of met bovenstaand applet.

Halveringstijd
Je weet: per half etmaal verdwijnt ⁷/₈, dus de groeifactor per 12 uur is ⁷/₈.
Groeifactor per uur: (⁷/₈)^¹/₁₂0,988934...
Nu moet gelden:
(0,988934...)^t=0,5
t geeft je dan de halveringstijd in uur (oplossen als boven!)

Wortels en gebroken machten
Zoals je weet mag je bij het vermenigvuldigen van machten met gelijk grondtal de exponenten optellen.
3²·3³·3⁴=3⁷

Verder weet je:
(3³)²=3⁶

Nu geldt:
(2^...)²=2¹ en het getal op de puntjes keer 2 moet 1 zijn... rara wie ben ik? Daar moet dus een half staan. Maar welk getal is in het kwadraat 2? Dat was Ö2 toch? Dus kennelijk geldt:
Ö2=2^¹/₂

Rekenregels spreek je af om niet elke keer het wiel opnieuw uit te moeten vinden, dus mag je die zonder verdere uitleg gebruiken. Ze staan zelfs op de formulekaart toch? Hier zie je een overzicht van de Rekenregels machten en logaritmen.

Overigens zou ik 0,1^2t=10^2,5 zo oplossen:
0,1^2t=10^2,5
(10^-1)^2t=10^2,5
10^-2t=10^2,5
-2t=2,5
t=-1,25

En zo kan die dan wel weer...

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 8 december 2003