WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Model voor populatie

Hallo,

K0 = aantal konijnen op het begin is bij het tellen dit tijdstip geven we aan met t=0. Het aantal konijnen in het gebied na t jaar geven we aan met K(t).
Aannames: Per tijdseenheid overlijdt een fractie "d" van het aantal konijnen door ouderdom. Het aantal jongen dat per tijdseenheid geboren wordt is evenredig met een aantal konijnen. Deze evenredigheidsfactor is "b".

Laat zien dat het verloop van de het aantal konijnen in de tijd te beschrijven is met de volgende differentiaalvergelijking:

dK(t) / dt = aK(t),

waarin a=b-d

Wat is de beginvoorwaarde

De differentiaalvergelijking en de beginvoorwaarde vormen samen een wiskundig model dat het verloop van het aantal konijnen in de tijd beschrijft.
Geef de oplossing van de differentiaalvergelijking en beginvoorwaarde.

Ik kom niet verder aan de andere opdrachten omdat ik dit niet weet.
Bij voorbaat dank!
Peter
Peter
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 4 december 2003

Antwoord

De kern van dit soort modelleerproblemen zit in een goed begrip van de afgeleide, ofwel dy/dx.
Je weet waarschijnlijk dat dy/dx een maat is voor de verandering van y als functie van x. Bijvoorbeeld: als een kleine verandering van x een grote verandering van y inhoudt, dan is dit quotiënt een groot getal. Voor de grafiek van y (als functie van x) betekent dit: de raaklijn loopt steil omhoog.
Nu de konijnen.
K(t) is het aantal konijnen op tijdstip t.
DK(t)/Dt is de verandering van K(t) in een tijdsintervalletje Dt, gedeeld door Dt.
Laten we kijken wat er met K(t) gebeurt in het tijdsinterval Dt.
Er komen ongeveer b·K(t)·Dt konijnen bij door geboorte, en er vallen ongeveer d·K(t)·Dt konijnen af door sterfte.
Dus DK(t) b·K(t)·Dt - d·K(t)·Dt.
Deel deze vergelijking door Dt, en neem de limiet als Dt naar 0 nadert, en voila: de differentiaalvergelijking.
Voor het oplossen hiervan kun je de methode van het scheiden van variabelen gebruiken. Daar staat vast wel een voorbeeld van in je boek.
succes.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 4 december 2003

Re: Model voor populatie