WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Een zwarte pietenband bestaande uit 15 muzikanten

Ik zou graag een antwoord krijgen op de volgende vraag.

Er is een zwarte pietenband bestaande uit 15 muzikanten. Zij hebben allen een muziekboekje met daarin 10 verschillende stukken muziek. Hoe groot is de kans dat 3 muzikanten voor hetzelfde muziekstuk kiezen. Uitgangspunt is dat zij niet worden beïnvloed door smaak en andere omstandigheden.

Ik begon zelf met (1/10)³= 0,001 maar deze kans lijkt me erg klein. Als ik uitga van 2 dezelfde stukken moet dit volgens mij uitkomen op 100% want met 15 mensen en 10 muziekstukken zijn er altijd dubbelen. Ik heb iets geprobeerd met binomiale verdeling maar ik kom er niet uit.

Ik ben inmiddels geen student meer maar dit vraagstuk houdt me dermate bezig dat ik er graag antwoord op zou krijgen.

Reactie
Ik bedoelde inderdaad precies 3 muzikanten die (toevallig) hetzelfde muziekstuk kiezen. Maar ik zou de berekening ook graag willen maken voor bijvoorbeeld 4 muzikanten die hetzelfde muziekstuk kiezen.

Ik had voor mezelf een soort model bedacht in de vorm van 15 dobbelstenen met 10 kanten (genummerd van 1 t/m 10). Hoe groot is dan de kans als ik de 15 dobbelstenen in één keer gooi dat er 3 gelijke kanten zijn (de overige uitkomsten bijv. dat er ook nog 2 gelijke kanten vallen van andere getallen maken niet uit). Volgens mij is dat hetzelfde principe. Maar ik heb dus geen idee hoe ik dit moet aanpakken.

Mijn opleidingen zijn Havo en HTS-bouwkunde. Ik heb op de Havo 2 jaar kansberekening gehad maar met de kennis die ik daarvan (nog) heb lukt het me niet dit uit te rekenen.

Met vriendelijke groet,
Jacque
Iets anders - zondag 30 november 2003

Antwoord

Dag Jacqueline,

Het heeft even geduurd, want het is best een ingewikkeld verhaal. Verrassend eigenlijk, dat zo'n eenvoudig te formuleren probleem zo'n gecompliceerd antwoord heeft.
Het is eigenlijk een kwestie van systematisch mogelijkheden tellen, en dan liefst gestructureerd.
Tijdens een lange winterwandeling heb ik het volgende bedacht.
Het totaal aantal mogelijkheden is gelijk aan 10¹⁵.
Ik ga er van uit, dat er maar precies 1 muziekstuk door precies 3 personen gekozen wordt, en de andere stukken door willekeurige andere aantallen. Als je toch iets anders bedoelde, dan kun je dat zelf wel aanpassen denk ik.
Met bijvoorbeeld [6,3,2,2,1,1] bedoel ik: het aantal mogelijkheden waarbij 1 stuk door 6 personen is gekozen, 1 stuk door 3 personen, 2 stukken door 2 personen, 2 stukken door 1 persoon, en dus 4 stukken door niemand.
Alle gunstige mogelijkheden zijn dan:
[12,3]
[11,3,1]
[10,3,2]
[10,3,1,1]
([9,3,3] mag niet, want dan zijn er 2 stukken door 3 gekozen)
[9,3,2,1]
[9,3,1,1,1]
[8,4,3]
[8,3,2,2]
[8,3,2,1,1]
[8,3,1,1,1,1]
[7,5,3]
[7,4,3,1]
[7,3,2,2,1]
[7,3,2,1,1,1]
[7,3,1,1,1,1,1]
[6,6,3]
[6,5,3,1]
[6,4,3,2]
[6,4,3,1,1]
[6,3,2,2,2]
[6,3,2,2,1,1]
[6,3,2,1,1,1,1]
[6,3,1,1,1,1,1,1]
[5,5,3,2]
[5,5,3,1,1]
[5,4,3,2,1]
[5,4,3,1,1,1]
[5,3,2,2,2,1]
[5,3,2,2,1,1,1]
[5,3,2,1,1,1,1,1]
[5,3,1,1,1,1,1,1,1]
[4,4,4,3]
[4,4,3,2,2]
[4,4,3,2,1,1]
[4,4,3,1,1,1,1]
[4,3,2,2,2,2]
[4,3,2,2,2,1,1]
[4,3,2,2,1,1,1,1]
[4,3,2,1,1,1,1,1,1]
[4,3,1,1,1,1,1,1,1,1]
[3,2,2,2,2,2,2]
[3,2,2,2,2,2,1,1]
[3,2,2,2,2,1,1,1,1]
[3,2,2,2,1,1,1,1,1,1]
[3,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1]
en dan houdt het op, omdat er maar 10 muziekstukken zijn.
Nu is het een kwestie van berekenen van zo'n rijtje.
Ik werk een voorbeeld uit, dan kun je de rest zelf wel, denk ik.
Als voorbeeld doe ik
[6,3,2,2,2]

Voor de keuze van de vijf muziekstukken zijn er (10 boven 5) mogelijkheden.
Uit deze 5 stukken heb je 5! mogelijkheden voor de verdeling van de stukken over de groepjes muzikanten.
Omdat er drie groepjes van 2 zijn, tel je hier dingen dubbel, dus moet je nog delen door 3!

Voor de keuze van de 6 personen zijn er (15 boven 6) mogelijkheden.
Voor de keuze van de 3 personen zijn er dan nog (9 boven 3) mogelijkheden.
Voor de keuze van de eerste 2 personen zijn er dan nog (6 boven 2) mogelijkheden.
Voor de keuze van de tweede 2 personen zijn er dan nog (4 boven 2) mogelijkheden.
De laatste twee personen liggen dan vast: (2 boven 2) = 1

Het aantal mogelijkheden is dus:

Je ziet, het is nog heel wat werk, maar ik hoop dat het nu wel lukt.

PS. Van collega-beantwoorder Jan Smit (bedankt!) kreeg ik een oplossing die aanzienlijk minder handwerk vereist.
Ik geef zijn oplossing hieronder:
Stel Xk geeft aan hoevaak lied k gekozen is (k=1, 2,... 10)
Xk is binomiaal met p = 0,1 ; n = 15.
Zij Ak de gebeurtenis "Xk = 3"
Dus P(Ak) = (15 boven 3) (0,1)^3 (0,9)^12 = ...
De vraag is nu: Hoe groot is de kans dat er precies één van de gebeurtenissen A1 t/m A10 optreedt.
Daarvoor is er een variant op de zg regel van inclusie/exclusie die ons uit de brand helpt.
De gewone regel van in/excl zegt bv voor 3 gebeurtenissen A, B, C de kans op minstens 1 van de 3 is (PA + PB + PC) - (PAB + PAC + PBC) + PABC .
Als we gelijksoortige termen samennemen kun je dat ook schrijven als S1 - S2 + S3.
Dit is de kans op minstens één. De kans op precies één is gelijk aan S1 - 2S2 + 3S3, wat je gemakkelijk kunt inzien met een zg Venndiagrammetje. Zoiets geldt ook voor meer dan 3 gebeurtenissen.
In ons geval kunnen er hoogsten 5 van de gebeurtenissen A1 t/m A10 tegelijk optreden. De gezochte kans komt dan in de vorm S1 - 2S2 + 3S3 - 4S4 + 5S5, waar bij dan S1 de som van de kansen van 10 enkelvoudige gebeurtenissen PAk . Dus S1 = 10 PA1. S2 de som van de kansen op de 45 kombinaties van 2 gebeurtenissen, dus S2 = 45 P(A1 en A2)
(P(A1 en A2) = (15! /(3! 3! 9!))(0,1)^3 (0,1)^3 (0,8)^9, 'multinomiale verdeling')
S3 is de som van 120 kansen op 3voudige combinaties.
De rest is dan wel duidelijk.

PPS:
Nog een aanvulling van Jan Smit:
Ik heb ook nog uitgerekend hoe groot die kans is.
Precies 1 lied wordt 3 keer gekozen : 0,4017
Minstens 1 lied wordt 3 keer gekozen : 0,7916
Dat zijn dus behoorlijk grote kansen. Maar dat mag ook wel want de (binomiale) kans dat lied 1 precies 3 keer gekozen wordt is 0,1285. Dus het aantal liedjes dat precies 3 keer gekozen wordt heeft verwachting (10 keer zoveel) 1.285 en als je nu bv een Poissonverdeling neemt met dezelfde verwachting dan vind je kansen van ongeveer dezelfde grootte.
Maar nu nog wat. Misschien is dit helemaal niet wat jij bedoelt, want je merkt op dat als je niet 3 maar 2 neemt voor het aantal pieten met hetzelfde lied dan 100% kans. Maar dan moet je bedoelen : wat is de kans dat minstens 1 lied door minsten 2 pieten gekozen wordt, want die kans is 1 (omdat 15 >10 )
Dus misschien wil je de kans weten dat minstens 1 lied minstens 3 keer gekozen wordt. En die kans kun je bepalen uit de kans dat dat niet gebeurt, dus geen enkel lied meer dan 2 keer gekozen. Daarvan heb je 3 gevallen:
a) 7 liedjes 2 keer gekozen en 1 liedje 1 keer.
b) 6 liedjes 2 keer gekozen en 3 liedjes 1 keer.
c) 5 liedjes 2 keer gekozen en 5 liedjes 1 keer
Op die manier kom ik op een kans van 0,03114. Dus de kans dat minstens 1 liedje minstens 3 keer gekozen wordt is 0,9688 wat wel te verwachten was.

groet,

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 8 december 2003