WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Opstellen van model

Hallo,

Ik moet voor een verslag een aantal sommen maken, waarvan de meeste gelukt zijn. Dank zij de handige links en tips van jullie . Maar ik kom niet uit een paar vragen waardoor ik de rest van de opgave niet kan maken.
Dit is het verhaaltje dat erbij hoort:
In het model gaan we er vanuit dat er maximaal M konijnen in het duigebied kunnen leven. WE nemen aan dat de snelheid waarmee het aantal konijnen teneemt niet alleen enverredig is met K(t) (het aantal konijnen in het gebied na t jaar), maar ook met het verschil van M en K(t). De evenredigheidsfactor noemen we q. De beginvoorwaarde verandert niet.

Leg uit waarom het verloop van het aantal konijnen in de tijd te beschrijven is met de volgende differentiaalvergelijking:
dK(t) / dt = q K(t)(M-K(t))

( Vooraf: K0 is aantal konijnen op t=0 )
Bewijs dat de oplossing van de differentiaalvergelijkingen en beginvoorwaarde gegeven worden door:
K(t) = M K0 / ( K0 + (M - K0)e^(-qMt)

Ik weet dat het een heel verhaal is , mijn verontschuldigingen hiervoor.
Bij voorbaat heel veel dank,
Met vriendelijke groeten Peter

Peter
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 24 november 2003

Antwoord

Dat het verloop gegeven wordt door de gegeven differentiaalvergelijking lijkt me nogal duidelijk. Het oplossen zelf gebeurt door scheiding van veranderlijken

dK / [K(M-K)] = q dt

Inderdaad, het linkerlid hangt nu niet meer expliciet af van t, en het rechterlid niet van K. Integreer nu beide leden (het rechterlid van t=0 tot t=t, het linkerlid van K=K0 tot K=K, zijnde de waarden die overeenkomen met de grenzen in het rechterlid) en los het bekomen verband op naar K.

Als natuurlijk enkel gevraagd is te controleren of de oplossing voldoet, is die in de vergelijking stoppen + controleren van de beginvoorwaarde natuurlijk genoeg!

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 24 november 2003

Re: Opstellen van model