WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Arbeid

Een simpel vraagstukje, maar ik vind het antwoord maar niet....

(mechanica)

vector a=(2xy+z^3) i + x^2 j + 3xz^2 k is ene krachtveld.

Zoek de arbeid om van P naar Q te gaan

P(1,-2,1) Q(3,1,4)

Groeten (gelieve precies te zijn, zodat ik weet wat naar wat te integreren, want juist dat versta ik nie)

Groeten
Compug
Student universiteit - vrijdag 21 november 2003

Antwoord

Manier 1

Je kan zelf narekenen dat Ñ´a º 0 zodat er een scalaire functie V(x,y,z) (de potentiaalfunctie) bestaat zodanig dat a = - ÑV (mogelijke opmerkingen over de regulariteit van de bewuste functies laat ik hier achterwege). We kunnen een mogelijke potentiaalfunctie vinden door bovenstaande vectorvergelijking op te lossen

-¶V/¶x = 2xy + z³
®V(x,y,z) = -x²y - xz³ + p(y,z)

met p(y,z) de "integratieconstante", dus een of andere functie die niet afhangt van x. Hierdoor wordt

-¶V/¶y = x² - ¶p(y,z)/¶y

wat volgens het gegeven krachtveld zou moeten gelijk zijn aan x². De onbekende functie p(y,z) hangt dus ook niet af van y en we schrijven enkel nog p(z). Afleiding naar z geeft dan nog

-¶V/¶z = 3xz² - ¶p(z)/¶z

waaruit ook weer volgt dat ¶p(z)/¶z gelijk moet zijn aan nul en de functie p dus een gewone constante voorstelt, die we voor het gemak nul kiezen. Onze gekozen potentiaalfunctie is dus

V(x,y,z) = -x²y - xz³

De arbeid die de kracht verricht van P naar Q is nu V(P)-V(Q). Reken zelf uit. De arbeid die je zelf moet verrichten op van P naar Q te gaan is dan het tegengestelde daarvan.

Manier 2

Aangezien het krachtveld conservatief is (zie punt 1) maakt het niet uit welk pad je volgt op je weg van P naar Q. Je kan de arbeid die de kracht levert uitrekenen via de definitie

W = òa·dl

langs een pad naar keuze. Hierin stelt de vector dl natuurlijk [dx,dy,dz] voor. Mogelijke keuzes die het berekenen eenvoudig maken zijn het 3D-lijnstuk PQ of de unie van de lijnstukken PR-RS-SQ, met R=[3,-2,1] en S=[3,1,1] (zodat per lijnstuk slechts een variabele wijzigt).

Het is een typische examenoefening om de arbeid op beide manieren eens te berekenen. Het is dan ook zeer leerrijk om ook deze manier eens uit te proberen. Lukt het zo? Je weet wat je moet uitkomen uit het eerste puntje...

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 24 november 2003