WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Vijfhoek

hallo, zouden jullie me dan wel het volledige antwoord willen geven op deze vraag?:

1.Neem een vijfhoek met zijde x cm. Maak een formule die de oppervlakte
van deze vijfhoek geeft, uitgedrukt in x.
Leg uit hoe je tot de formule gekomen bent.

alvast bedankt.
Joel d
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 13 november 2003

Antwoord

Beste Joel,

Ik neem aan dat je het over een regelmatige vijfhoek hebt.

Wat zie je als je vanuit het middelpunt lijnstukken trekt naar de hoekpunten van de vijfhoek? Er ontstaan 5 congruente driehoeken. Dat wil ook zeggen dat de driehoeken precies dezelfde oppervlakte hebben.
Alle middelpunthoeken bij elkaar vormen een cirkel dus 360°, dus één middelpuntshoek (bijvoorbeeld hoek ACB) is 360°:5 = 72°.
Verder zijn de driehoeken gelijkbenig, want in driehoek ABC bijvoorbeeld is |AC| = |BC| (Je kunt vanuit het middelpunt een cirkel met straal |CB| tekenen, dat is de omgeschreven cirkel, en bij stralen horen gelijke lengtes).
Omdat de driehoek gelijkbenig is zijn de basishoeken gelijk, en omdat alle hoeken in een driehoek te samen 180° zijn, is zowel hoek CAB als CBA = 54° (want 72° + 2*basishoeken = 180 Û één basishoek = (180° - 72°)/2 = 54°).
Wat is de oppervlakte formule van een driehoek? De gemakkelijkste is ¹/₂·basis·hoogte.
De basis kennen we, die hebben we x genoemd, maar wat is de hoogte? Laten we de middelloodlijn van AB eens nemen.
Die gaat door de top C en deelt de tophoek middendoor (je zou ook kunnen zeggen dat je 'n loodlijn vanuit C op de basis tekent, maar die deelt de basis evengoed middendoor, dus is het een middelloodlijn).
Dus hoek ACD (waarbij D het snijpunt van middelloodlijn en basis) is ¹/₂·72° = 36°. Tevens is driehoek ADC rechthoekig waardoor we basisgoniometrie mogen gebruiken.
Om nu |CD| te bereken (want dat is de hoogte die we nodig hebben in de oppervlakteformule van driehoek) gaan we een beroep doen op hoek DAC en de tangens. Want we moeten de overstaande zijde berekenen en we weten de aanliggende zijde. tan(ÐDAC) = CD/AD, dus is DC = tan(ÐDAC)·|AD| (kruisproducten) Þ DC = tan(54°)·¹/₂x.
Dus de oppervlakte van driehoek ABC is ¹/₂·x·tan(54°)·¹/₂x
= ¹/₄x²·tan(54°).
Maar omdat er vijf congruente driehoeken zijn is de totale oppervlakte van de regelmatige vijfhoek 5·¹/₄x²·tan(54°), ofwel bij benadering 1,72·x².

Groetjes,

Davy.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 13 november 2003