WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Limiet van een goniometrische functie

Wat doe ik nu fout in de volgende limiet?
lim x$\to$0 √1+tanx-√1+sinx/x³=
lim x$\to$0 √1+tanx-√1+sinx/x³·(√1+tanx+√1+sinx/√1+tanx+√1+sinx)=
lim x$\to$0 (1+tanx)-(1+sinx)/x³(√1+tanx+√1+sinx=
lim x$\to$0 (cosx/cosx+sinx/cosx-cosx/cosx-sinxcosx/cosx)/x³(√1+tanx+√1+sinx)=
lim x$\to$0 sinx-sinxcosx/x³(√1+tanx√1+sinx)(cosx)=lim x$\to$0 sinx(1-cosx)/x³(√1+tanx+√1+sinx)(cosx)????
Ik zie door de bomen het bos niet meer......
charlo
Student hbo - zaterdag 8 november 2003

Antwoord

Hoi Charlotte,

Wat je zeker fout doet is dat je te weinig haakjes plaatst

Uitgaande van je omzettingen vermoed ik dat de opgave is:
^{√(1+tanx)-√(1+sinx)}/_x³

De omzettingen die je doet zijn allemaal wel juist, maar zoals je zelf ook zag, schiet je er niet veel mee op (nuja, eigenlijk wel: zie AANVULLING). Het punt is dat je limiet op 0/0 uitkomt, dus dat je de regel van de l'Hôpital moet gebruiken (ik hoop dat je die kent, anders wordt het echt wel een lastige opgave. Indien niet kan je op deze site hopen uitleg daarrond vinden).

Om die regel toe te passen, moet je teller en noemer afzonderlijk afleiden, en dan zie je dat die teller na drie keer afleiden een constante wordt (nl. 6). Dat kan dus al geen 0/0 meer opleveren, dus weet je ongeveer zeker dat je uiteindelijk wel de oplossing zal vinden. Om die reden lijkt het me aangewezen om de opgave in de oorspronkelijke vorm te laten staan en meteen de regel van de l'Hôpital te gebruiken (en dus geen omzettingen te gebruiken die ervoor zorgen dat zowel de teller als de noemer goniometrische termen bevatten)

Na één keer afleiden krijg je nog steeds iets dat 0/0 wordt, dus pas je de regel nog eens toe. Je krijgt weer 0/0, maar de noemer is dan al 6x geworden, dus pas je de regel nog een keer toe, en je komt uit op 1/4. Het is wel nogal een stevige berekening, eigenlijk een goeie oefening op afleiden...

Nog een tip: in de laatste keer dat je afleidt moet je niet meer zo precies werken: als een term in de teller sinx bevat, kan je hem laten vallen (dat wordt toch nul), en alle andere factoren zoals cosx en √(1+tgx) en √(1+sinx) worden 1, dus eigenlijk zijn alleen de coëfficiënten belangrijk in die laatste stap.

En tot slot een numerieke controle: als je x=0.000001 invult in de opgave, geeft een rekenmachine volgende uitkomst:
0,24999987500015624985828802637876
wat inderdaad verdacht dicht bij ¹/₄ ligt...

AANVULLING: ik kreeg van Robin, een aandachtige lezer, volgende alternatieve oplossing, waarvoor dank.

Het kan eventueel ook anders, het typen speelt me echter een beetje parten, dus je moet het maar even netjes opschrijven voor wat overzicht..

(√(1+tanx) - √(1+sinx))/x³

Vermenigvuldigen met (√(1+tanx)+√(1+sinx)/√(1+tanx)+√(1+sinx)) geeft een teller in de vorm (a-b)(a+b) en die kan je omschrijven naar a²-b². Dan krijg je:

(tanx - sinx) / x³·(√(1+tanx)+√(1+sinx))

Nu, de tanx-sinx is te herschrijven naar:

(sinx(1-cosx))/cosx

Alles bij elkaar (nogal een rotzooi wordt dit ben ik bang)
        sinx(1-cosx)
-------------------------------
cosx x³ · (√(1+tanx)+√(1+sinx))
Het is wat schrijfwerk, maar dit is op te splitsen in het product van de breuken:

sinx/x cosx = tgx / x

(1-cosx)/x²

1/(√(1+tanx)+√(1+sinx))

De eerste twee zijn bekende limieten, die gaan naar resp. 1 en ¹/₂ (zoek ze eventueel op, de 2e is van de eerste af te leiden als het moet). De derde breuk gaat naar een vaste waarde (invullen geeft ¹/₂).

De limiet is dus

1·1/2·1/2 = 1/4.

(en de garantie dat het waarschijnlijk makkelijker kan, maar hopital leek me in dit geval ook niet al te eenvoudig).

Succes ermee!

Groeten,

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 9 november 2003