WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Cosinus (pi/7)

Ik weet dat cos(pi/5) gelijk is aan (1+5)/4 Geeft dat een mogelijke richting naar de oplossing voor pi/7? Ik stuit dan op een stelsel van drie niet-lineaire vergelijkingen waar ik geen analytische oplossing voor weet.
Joop
Iets anders - woensdag 5 november 2003

Antwoord

Gauss bewees dat, wanneer een regelmatige n-hoek moet worden geconstrueerd met passer en liniaal waarbij n priem is (en daarmee wordt het ook mogelijk om voor de cosinus of sinus een uitdrukking te vinden zoals je zoekt), n dan een priemgetal moet zijn van de vorm 2^h + 1 waarbij h een macht van 2 moet zijn, dus h = 2^k.

Als je voor k de waarden 0, 1, 2, 3,.... gaat invullen, dan krijg je als eerste priemuitkomsten de getallen 3, 5, 17, 257, 65537.
Jouw vraag is gecentreerd rond de regelmatige 7-hoek, en uit het resultaat van Gauss volgt dat er geen oplossing voor is.
Te vrezen valt dus dat je bezig bent om de grootmeester Gauss te willen verslaan.

Het bewijs van deze stelling van Gauss is bijv. te vinden in de zogenaamde groepentheorie. Daarin wordt o.a. gestudeerd op de oplosbaarheid van polynoomvergelijkingen.
Het is overigens geen eenvoudige kost.
Boeken over getaltheorie willen er ook nog wel eens op ingaan, dus kijk er eens naar, zou ik zeggen.

Hierbij nog een aanvulling zoals ik ontving van de getaltheoreticus Prof. Beukers van de Utrechtse universiteit:

Wat betreft construeerbaarheid, het zal je bekend zijn dat alle grootheden die door herhaald vierkantsworteltrekken construeerbaar zijn. Het getal a=cos(pi/7) voldoet aan de polynoomvergelijking 8a³-4a²-4a+1=0. Voor derde graads vergelijkingen heb je de formule van Cardano, waarin ook een derde graads worteltrekking zit. Maar, derdegraadsworteltrekkingen zijn niet met passer en liniaal uit te voeren (bijv. het Delische probleem om gegeven een kubus, een kubus met het halve volume te construeren).
Dan nog een heel flauwe opmerking: 2cos(pi/n) is gelijk
aan exp(pi i/n)+exp(-pi i/n). Nu is exp(pi i/n) een n-de machtswortel, omdat exp(pi i/n) tot macht n gelijk is aan exp(pi i)=-1. (Hierin is i de wortel uit -1).

De stelling van Gauss impliceert dat alleen n-hoeken van de volgende vorm geconstrueerd kunnen worden: n=2^k.p1.p2...pr, waarin p1,p2,..,pr verschillende Fermat-priemgetallen zijn. Dat wil zeggen priemgetallen van de vorm 2^2ⁿ+1. De enige bekende zijn 2+1=3, 2²+1=5, 2⁴+1=17, 2⁸+1=257 2¹⁶+1=65537.

Hopelijk geeft dit enigszins een antwoord op je vraag.

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 5 november 2003