WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Veranderingen

Hallo,

Ik heb twee vragen:

VRAAG 1:

Je hebt het functievoorschrift: f(x)= 4x⁴-4x³+3x²

a)Benader in 1 decimaal nauwkeurig de hellingen in de snijpuneten van de grafiek van f met de x-as
(deze vraag kon ik wel oplossen)

b) Onderzoek met een plot welke punten van de grafiek het hellingsgetal 0 is.

Ik heb in de tabel gekeken, maar ik kan het niet echt vinden, want het hellingsgetal op meerdere plaatsen nul en ook met een kommagetal, dus niet echt exact nul. Hier kwam ik niet uit...

c) Beredeneer met behulp van opdracht a en b dat er drie punten op de grafiek zijn waarin de helling -1 is.

d) Voor welke waarde van b raakt de lijn y= -x+b
de grafiek links van de oorsprong ?

Als f kwadratisch was, dan zou ik het wel kunnen oplossen (met de discriminant) of als er zou worden gevraagd naar het functievoorschrift als het precieze punt bekend was waar de lijn moest raken. Maar ik kom hier niet uit

VRAAG 2:

Gaat nog steeds over f van de vorige vraag: f(x)= 4x⁴-4x³+3x²

De rij f(a+1)-f(a) vanaf a = -2 is bij deze functie als volgt: -52,-8,0,-4,4,48

Waar geeft de rij f(a+1)-f(a) een goed beeld van het verloop van de grafiek van f en waar niet ?

Zou u mij kunnen helpen ?

MVG

H.

H.
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 12 oktober 2003

Antwoord

Ik ga er in dit antwoord van uit dat je beschikt over een TI-83!

Volgens mij stond ook in je boek dat het functievoorschrift van f te schrijven was als f(x)=x²(x-1)(x-3)
Anders kun je natuurlijk niet zo makkelijk vraag a) maken.

Vraag a) (die je wel kon) heb je naar alle waarschijnlijheid
gemaakt door in de nulpunten het differentiequotient uit te rekenen voor zo'n nulpunt en een punt er heel dicht bij.
B.v. (f(1.001)-f(1))/.001
Je hebt dan als antwwoorden als
in x=0 ongeveer 0.0, in x=1 ongeveer -2,0 en in x=3 ongeveer 18

Bij vraag b wordt je gevraagd de opdracht met een plot uit te voeren. Eerst maar eens de grafiek van f.

Helling 0 wil zeggen: horizontale raaklijn. In de grafiek van f zie je dat de grafiek 3 toppen heeft. De helling in die toppen is nul.
Je zou deze punten met behulp van CALC-max en CALC-min kunnen vinden.
Het probleem van het gebruik van een tabel is dat je dan niet zo nauwkeurig kunt werken omdat je niet precies weet met welke stapjes je de tabel moet maken.
Een andere mogelijke manier om deze opgave te maken is de volgende:
Ik neem aan dat je bij Y1 het functie voorschrift hebt ingevoerd.
Voer nu bij Y2 in:
Y2=(Y1(X+0.001)-Y1(x))/0.001
(Je kunt Y1 erin krijgen door VARS-YVARS-FUNCTION-Y1 e gebruiken:
Hier staat nu het Y= scherm.

Als je nu Y1 uitschakelt en de grafiek van Y2 tekent dan
krijg je deze grafiek:

Deze grafiek geeft nu voor iedere x de de helling weer van de grafiek van f.
Je ziet dat deze grafiek de X-as 3 keer snijdt.
In deze punten is de helling van de grafiek van f dus nul.
Je kunt de x-waarden van deze punten nu gemakkelijk berekenen met Calc-Zero:

Vraag c)
De helling wordt dus 3 maal 0.
In 0, 0,63 en 2,37.
Je hebt ook de helling in de nulpunten uitgerekend (zie a)
Voor x=1 was de helling -2, voor x=3 was de helling 18,
voor x= 2,37 is de helling nul.
De helling moet dan dus 2 keer de -1 zijn gepasseerd.
Ook kun je zien dat de helling links van x=0 steeds groter negatief wordt, dus ook een keer -1 wordt.
Ik heb hieronder ook nog een keer de grafiek van Y2 (de hellinggrafiek) getekend, met ook nog een keer de lijn y=-1: je ziet drie snijpunten.

vraag d)
In mijn boek staat hier eerst nog eens de tussenvraag: Onderzoek of de lijn y=-x-1 de grafiek van f raakt.
Bij een plot zie je dat dit niet het geval is.
Als je die lijn iets hoger tekent b.v. y=-x-0.1 dan zul je zien dat eventjes links van de oorsprong deze lijn de grafiek van f ongeveer raakt.
Als je het precies wilt weten zou je het volgende kunnen doen:
Het gaat dus om het punt links van de oorsprong waar de helling -1 is.
Neem nu weer de grafiek van Y2. Voer bij Y3 in -1, dus Y3=-1.
Bereken nu met Calc-inersect het meest linkse snijpunt van Y2 en Y3.
De x-coordinaat van dit snijpunt is de x-coordinaat van het punt waar je die raaklijn wilt hebben.
(Ik vind dan x=-0,131401 of zoiets)
Bereken nu f(-0,121201)=0,0611...
Vul nu x=-0,131401 en y=0,0611.. in in y=-x+b en bereken hieruit b!

Vraag2:
Als je in de grafiek van f kijkt zie je dat hij tussen 0 en 2 af en toe stijgt en daalt. Dit waarden van f(a+1)-f(a) geven hier geen goed beeldvan het verloop van de grafiek.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 12 oktober 2003