WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Groepentheorie van Galois

Beste mensen,
Ik heb op school de opdracht gekregen om info te zoeken over de groepentheorie van Galois, maar alle resultaten zijn ingewikkeld en bestemd voor hoge schoolstudenten en ik zit nog maar in het 3de middelbaar.Kunnen jullie me helpen?
Ives
Ives D
2de graad ASO - zaterdag 11 oktober 2003

Antwoord

Beste Ives,

Sorry voor de late beantwoording. Wij bij WisFaq zijn hier denk ik enige tijd op het verkeerde been gezet, en jij wellicht ook. Wij hebben lange tijd ons gefocused op Galois theorie - erg ingewikkeld en normaliter niets voor iemand in het middelbaar onderwijs. Maar de gewone "groepentheorie" is ook mede ontwikkeld door Evariste Galois, en ik denk nu dat je daar op doelt.

Allereerst is misschien een stukje geschiedenis erg interessant. Evariste Galois leefde van 1811 tot 1832. Hij werd dus niet heel erg oud. Zijn meeste wiskundige werken schreef hij in de gevangenis, waar hij in beland was als "staatsgevaarlijke". Hij is overleden na een duel met Perscheux d'Herbinville.

Maar goed, hij werkte daar aan wat wij nu "groepen" noemen. Een groep bestaat uit een verzameling (wij denken daarbij meestal aan getallen) en een bewerking op paren elementen van die verzameling (wij denken dan in eerste instantie aan optellen of vermenigvuldigen). Laten we steeds even de elementen van de verzameling met hoofdletters aangeven en de bewerking met #.

Voor een groep moet aan de volgende eis voldaan zijn:
Zitten A en B in de verzameling, dan A#B (en B#A) ook.
Er is een neutraal element I, zodat I#A = A#I = A voor alle A uit de verzameling (bij de gewone ermenigvuldiging is dit 1 en bij optelling is dit 0).
Voor alle A,B,C uit de verzameling geldt dat (A#B)#C = A#(B#C). Dit noemen we de associatieve eigenschap.
Bij elk element A hoort een element inv(A), de inverse van A, zodat A#inv(A) = inv(A)#A = I (bij de gewone vermenigvuldiging is dat 1/A, en bij de optelling -A).
In het algemeen hoeven A#B en B#A niet hetzelfde te zijn. Is dat wel zo dan noemen we de groep een Abelse groep.

Zijn er andere voorbeelden dan het gewone rekenen?? Ja, natuurlijk.

Denk eens aan klokrekenen. Op een klok is 11 uur plus 2 uur gelijk aan 1 uur. We stellen 13 uur en 1 uur eigenlijk gelijk. Bij 1 uur horen eigenlijk oneindig veel tijden met tussenpozen van 12 uur. Al deze tijdstippen samen noemen we met een wiskundige term een "equivalentieklasse modulo 12", oftewel als we 1 uur zeggen dan kan dat een aantal keer 12 meer of minder zijn. De getallen 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 als tijden, te zien als equivalentieklassen, vormen een groep met de optelling.

Met vermenigvuldiging is dat ingewikkelder. De volgende equivalentieklassen modulo 7 vormen een groep: 1,2,3,4,5,6. Probeer dat maar eens te laten zien. Het neutrale element is natuurlijk 1. De inverse van 2 is 4, want 2*4=8 en 8 en 1 zijn in dezelfde equivalentieklasse.
We doen 0 niet bij de groep want 0 heeft geen inverse!

Zouden we zoiets modulo 6 willen doen, dan gaat dat minder makkelijk. Omdat 2*3=6, en 6 zit in de equivalentieklasse 0, kunnen 2 en 3 niet allebei in de groep zitten, want 0 kan er niet in zitten. Neem je alleen 1 en 5 dan lukt het wel, maar de groep die overblijft is niet zo spannend. Voor alleen 2 en 4 geldt hetzelfde.

***

Een heel ander voorbeeld van een groep, een NIET abelse groep, kan gemaakt worden met de lineaire functies:

f(x) = ax+b met a¹0.

Voor twee lineaire functies f(x) = ax+b en g(x) = cx+d kunnen we afspreken dat f#g gelijk is aan het in de formule van f(x) voor x invullen van g(x). Dus
  f#g(x) = a(g(x)) + b
         = a(cx + d) + b
         = acx + ad + b.
Het neutrale element is e(x) = x.

Hebben we ook h(x) = ux+v, dan kunnen we eens kijken of de associatieve eigenschap geldt:

Eerst

(f#g)#h(x) = ac(ux+v)+ad+b = acux + acv + ad + b.

Dan

g#h(x) = c(ux+v) + d = cux + cv + d

en dus

f#(g#h)(x) = a(cux + cv + d) + b = acux + acv + ad + b.

We zien dat de functies (f#g)#h en f#(g#h) hetzelfde zijn, en inderdaad geldt de associatieve eigenschap.

De inverse laat ik aan jouzelf over.

Er zijn nog enorm veel andere soorten voorbeelden. Zoekend op internet moet het mogelijk zijn meer te vinden.

Ik hoop dat ik je zo een eerste glimp van groepentheorie heb kunnen geven.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 21 oktober 2003

Re: Groepentheorie van Galois