WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Reflectie binnen een cirkelvormige spiegel (probleem van Alhazen)

Berekenen van refelectiepunten van lichtstralen op een vlakke spiegel is heel gemakkelijk, maar berekening of constructie binnen een rond spiegelend oppervlak lukt mij (nog steeds) niet..

Stel je dus voor een cirkel met daarin een punt A en een punt B op een willekeurige locatie. De vraag: Leidt af of construeer de locatie van de punten op de cirkel waar een lichtstraal van A weerkaatst wordt naar B.

Licht voldoet aan de wet van Snellius: hoek van inval is hoek van terugkaatsing. Wanneer we een 'kaats'punt op de wand P noemen en het middelpunt van de cirkel M, dan geldt voor P dat hoek APM gelijk is aan BPM. PM is de bisectrice van APB.

Door proberen heb ik vastgesteld dat er minimaal 1 en maximaal 4 oplossingen zijn, afhankelijk van de posities van A en B.

Wie kan de locatie van de reflectiepunten op de cirkel construeren of afleiden als A, B, M en de straal van de cirkel bekend zijn?
Kees V
Iets anders - woensdag 1 oktober 2003

Antwoord

Dag Kees,

Laat ik eerst schrijven, dat het probleem genoemd is naar Alhazen (Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham, 965-1040) wiens naam door vertalers van zijn boek (Opticae thesaurus Alhazeni) verlatiniseerd is tot Alhazen(lees ook zijn biografie)!

Het probleem is eerder aangepakt door oa. Huygens en Riccati. Het behoort tot de 'klassieke' problemen. En het is -hoe je het ook bekijkt- opgelost! Ik zal proberen zo spoedig mogelijk een algebraïsche afleiding te geven.

Een passer-en-liniaal-constructie zal ik niet geven, want:
It was not until 1997 that Neumann proved the problem to be insoluble using a Compass and Ruler construction because the solution requires extraction of a Cube Root.
(bron: klik hier)

Dus nog even geduld. Je krijgt bericht als deze pagina een algebraïsche afleiding bevat (of een verwijzing naar zo'n afleiding). Als je daarop niet kan wachten... Google zelf ook eens met 'alhazen billiard problem'.

Het probleem in een iets andere vorm luidt:
Construeer in een cirkel een gelijkbenige driehoek PQR waarvan de benen door twee gegeven punten A, B binnen die cirkel gaan.

Applet werkt niet meer.
Download het bestand

Verplaats in bovenstaande applet het punt P over de cirkel (wijs het punt P aan, je ziet dan 'Dit punt' en houd dan de linker muisknop ingedrukt). De positie van de punten A en B kan eveneens worden gewijzigd.

N.B. Voor het reflectieprobleem moet B dus op het rode lijnstuk liggen!

Enig overleg en denkwerk heeft onder andere geleid tot onderstaand plaatje, waarmee de Cabri-construeerbaarheid van het Alhazen-probleem is aangetoond.

Bovenstaande figuur toont een nogal ingewikkelde constructie. De gezochte reflectiepunten zijn de snijpunten van de cirkel met de 'dikke' rode kromme. Een eenvoudige constructie van de reflexiepunten staat echter in de volgende applet.

Het applet werkt niet meer.
Download het bestand

- Teken een willekeurige lijn m door C.
- Bepaal het m-spiegelbeeld A' van A.
- Teken BA' die m snijdt in Y.

Het punt Y is dan een punt waarvoor in ieder geval hoek AYC = hoek BYC

Nu moet het punt Y echter op de cirkel liggen.

Daartoe kunnen we met Cabri (of een ander dynamisch meetkundeprogramm dat dat mogelijk maakt) de meetkundige plaats (Mpl) van Y bepalen (als de lijn m om C draait).

En dan bepalen we de snijpunten van die Mpl met de cirkel.
Nu is het echter zo, dat die Mpl van Y - we noemen die Mpl(Y) - nogal gecompliceerd is (zie de rode lijn in het ingewikkelde plaatje hierboven).

Daarom passen we een zogenoemde cirkelinversie toe op Y.
Zo'n cirkelinversie heeft de eigenschap dat alle punten van de cirkel invariant zijn (ze blijven op hun plaats). De snijpunten van Mpl(Y) met die cirkel zijn dus ook invariant onder die inversie.

De cirkelinverse van het punt Y is het punt Y*.
Bepalen we nu Mpl(Y*) dan blijkt dat een orthogonale hyperbool te zijn.

De snijpunten van die orthogonale hyperbool met de cirkel zijn dus de gezochte reflectiepunten - het zijn dus dezelfde punten als de snijpunten van Mpl(Y) met de cirkel.

Hiermee is aangetoond, dat het Alhazen-probleem 'kegelsnede-construeerbaar' is: de reflexiepunten zijn met behulp van een kegelsnede, in dit geval een hyperbool, te construeren.

In de applet kunnen we, via verschuiving van het punt met 'Toon Mpl(Y)', de meetkundige plaats van Y zichtbaar maken.
Ook kunnen we de reflectielijnen zien via 'Toon reflectie' (Het punt P kan weer verplaatst worden).

Door te dubbelklikken in het applet-venster wordt de Mpl van Y* gewist.

Natuurlijk kunnen ook de punten A (alleen horizontaal) en B worden verplaatst om het aantal snijpunten van de hyperbool en de cirkel te kunnen bekijken!
Zie Alhazen's billiard problem (Mathworld)

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 1 oktober 2003