WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Bepaal de beelden onder f(z) = 1/z van de volgende verzamelingen

a. {z|Im z = 0}
b. {z|Im z $>$= 1}
c. {z|Re z $>$= 0}
d. {z||z| $>$= 2}
e. {z| |z-1| $>$= 1}
f. {z|Re z $>$= 1}
g. {z|Im z $>$= 1}

Deze vraag komt na de behandeling van vergelijkingen voor cirkels en lijnen: azz - zm - zm + c = 0 (2e en 3e z en 2e m met streepje)

En na de bespreking van de vergelijking voor het beeld van deze cirkels en lijnen onder f(z) = 1/z:
cww - wm - wm + a = 0 (2e en 4e w en 2e m met streepje)

Ik zou het als volgt willen oplossen. Je maakt een vergelijking van de lijn door het groter of kleiner en gelijkteken te vervangen door een gelijkteken.

En dat is dan meteen mijn probleem. Ik heb echt geen idee hoe ik op basis van deze verzamelingen een vergelijking op te stellen. Wat is a? wat is c? wat is m?

Help!
Godeli
Student hbo - dinsdag 30 september 2003

Antwoord

Dag Godelieve,

Heb je al gekeken naar de applet bij Tekenen van complexe functies. Naar mijn idee kan je daaruit veel (zo niet alle) informatie halen.

Probeer overigens niet direct aan vergelijkingen van de beelden te denken.

In de opgaven zelf staan eigenlijk 'verzamelingnotaties' van gebieden.

Inderdaad is het vervangen van een ongelijkteken door een gelijkteken een eerste stap. Maar ook een 'meetkundige' betekenis aan die verzameling koppelen is vaak wel verhelderend (vandaar die applet).

Ik zal de eerste vier verzamelingen uitwerken.

a.
Wat is die verzameling meetkundig eigenlijk?
Im(z) = 0: de reële as.

Maw. we kijken alleen naar z = x, zodat w = f(z) = 1/x
Het bereik van 1/x bestaat uit alle reële getallen w ongelijk aan 0; terwijl voor z = x = ¥ dan w = 0.
Dus het beeld is: {w | Im(w) = 0}

Kijk eens naar de applet en verplaats het punt Z over de x-as.

Let daarbij dan op de positie van het punt Z' (de w).

b.
We bekijken dus eerst de punten z met Im(z) = 1. Dat is dus de rechte lijn m door z = i, evenwijdig aan de x-as.

In de bedoelde applet kan je de lijn m gemakkelijk weergeven.

Verplaats het punt P naar het punt i en draai de lijn dan om het punt P, tot de lijn (min of meer) evenwijdig is met de x-as.

De applet laat dan zien, dat het beeld van die lijn de cirkel |z + ¹/₂i| = ¹/₂ is.

En dan de berekening. Het is bij de functie w = 1/z zeker 'handig' te bedenken, dat ook geldt w_ = 1/z_ (dat 'hangende' streepje geeft dus het geconjugeerd zijn aan).

En voorts - ga dat zelf na - dat we voor de punten z op de lijn m kunnen schrijven:
z + (- z_) = 2i
We vinden dan met z = 1/w:
1/w - 1/w_ = 2i
of
w_ - w = 2iww_

Na vermenigvuldiging met ¹/₂i (en ordening) krijgen we:
ww_ - ¹/₂iw + ¹/₂iw_ = 0

En dit is de cirkel die door de oorsprong gaat met middelpunt m = -¹/₂i (zie ook {*} aan het eind).

En zelf bekeek ik, om te weten te komen welk vlakdeel ik moest hebben, het beeld van een 'gemakkelijk' punt uit het domein, hier bijvoorbeeld z = 2i. Dat geeft een w die binnen de cirkel ligt (gebruik eventueel weer de applet).

Dus vinden we (w | |w + ¹/₂i| = ¹/₂}

c.
Waaruit bestaat de verzameling punten z met Re(z) = 0? Dat is de imaginaire as (de i-as).

We hebben dus z = yi, en dus ook w = 1/yi = -(1/y)i

We hebben dus als beeld weer de imaginaire as.
Kies z = 1 (in het gegeven gebied). Dat geeft w = 1.
Zodat we vinden {w | Re(w) = 0}

d.
De verzameling {z | |z| = 2} is een cirkel met O als middelpunt en straal 2.
Voor deze punten geldt: zz_ = 4
Zodat voor de beelden geldt: (1/w)(1/w_) = 4 of ww_ = ¹/₄

Het beeld van de cirkel is dus weer een cirkel met O als middelpunt met straal ¹/₂.
Het beeld van z = 1 (binnen het origineel) ligt buiten de beeldcirkel, zodat
{ w | |w| = ¹/₂}

Je vraagt ook naar de waarden van m en c (de a speelt dezelfde rol als de c).

De algemene vergelijking van een cirkel is
|z - m| = r

Daarin is m het middelpunt van de cirkel, en r de straal.

Als we dit uitwerken krijgen we
(z - m)(z - m)_ = (z-m)(z_ - m_) = r²

Zodat
zz_ - m_z - mz_ + mm_ - r² = 0
De waarde mm_ - r² wordt vaak gelijk gesteld aan c (het is een constante, een reëel getal).

Die m is dus het middelpunt.

{*}Voorbeeld - Bij vraag b vonden we als beeld
ww_ - ¹/₂iw + ¹/₂iw_ = 0
Hieruit zien we dus, dat (zie de factor van w_) m = -¹/₂i (dan is m_ = ¹/₂i)
c is hier gelijk aan 0, zodat:
mm_ = ¹/₄ = r²
r is dus inderdaad gelijk aan ¹/₂.

In jouw vergelijkingen is het dus handig eerst door a (of door c) te delen.

De andere opgaven laat ik voorals nog aan jou.

Ik hoop dat bovenstaande je op weg helpt.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 30 september 2003