|
|
|
\require{AMSmath}
Bewijzen (Volledige Inductie) - sum(i/2i)<=2
Ik moet voor alle natuurlijke getallen n  = 1 bewijzen dat deze stelling geldt:
1/2 + 2/4 + 3/8 + ... + n/2n  2
Ik heb al op verscheidene manieren proberen te bewijzen dat dit waar is, maar ik kom niet verder als:
2 + (n+1)/2n+1  = 2
En dit zou dus betekenen dat de bovenstaande stelling niet klopt, omdat 2 + iets toch hoger is dan 2, of zie ik iets over het hoofd? 
Rob Ba
Student hbo - maandag 22 september 2003
Antwoord
Hoi,
We noteren f(n)=sum(i/2i:i=1..n). Je wil bewijzen dat f(n) 2 voor alle n 1 met inductie.
Basisstap: n=1
f(1)=1/22
Inductiestap: voor n1 geldt: f(n) 2 Þ f(n+1) 2
Je rekent makkelijk na dat 2.f(n+1)-f(n)=1+1/2+1/4+...+1/2n. Zo zijn we die vervelende oplopende getallen kwijt in de tellers en krijgen we zelfs een eenvoudige partieelsom van een meetkundige rij.
We weten al dat f(n)2 uit de veronderstelling van de inductiestap en bovendien: sum(1/2i:i=0..n)=2-1/2n2. Zodat f(n+1)2.
De rij f(n) is dus stijgend en naar boven begrensd. Er bestaat dus een limiet F voor n® ¥. Bovendien zal gelden: 2F-F=2, dus: F=2.
Groetjes,
Johan
PS: Alternatief (zonder inductie):
als fn(x)=sum(xi:i=1.. n) (voor x Î ]–1,1[), dan kan je makkelijk een gesloten formule voor fn(x) opstellen.
Je kan dan sn(x)=x.dfn(x)/dx=sum(i.xi:i=1..n) bepalen en zo tot een gesloten uitdrukking voor sn(x) komen. Je herkent wellicht sn(1/2). Je kan ook nog andere leuke reeksen bedenken door xk.dkfn(x)/dxk te bekijken…
andros
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 22 september 2003
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2024 WisFaq - versie 3
|
