WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Een fractal met behulp van phi

hey mensen!
nou staat er iets in een boekje over de gulden snede waar we opdrachten uit moeten maken (geschreven door Wim Kleijns / Tom Konings op blz. 25/26/27) en ik snap echt niet hoe ze er bij komen! Ik typ het wel even over...
1: Begin met een gelijkzijdige driehoek met lengte van een zijde gelijk aan 1.
2. Op de in afbeelding 14 getekende manier worden aan de beide basishoekpunten gelijkzijdige driehoeken geconstrueerd met gelijkvormigheidsfactor f (ten opzichte van de voorgaande driehoek) waarbij 0 f 1. Wat de waarde van f is weten we nog niet; die gaan we berekenen (vermoedelijke kun je het al raden)

3. Aan deze beide driehoeken worden vervolgens op dezelfde manier gelijkzijdige driehoeken gehecht met dezelfde gelijkvormigheidsfactor f.

4. Ga nu op deze wijze telkens door.

Uit afbeelding 14 blijkt dat AC = 1+ f +f kwadraat. We willen dat onze contructie leidt tot een gelijkzijdige driehoek ABC, dus dan moet AC = AB. Uit afbeelding 14 blijkt dat AB + 2(f kwadraat + f tot de derde + f tot de 4e + ....). We krijgen dan de vergelijking:

1+ f + f kwadraat = 2 (f kwadraat + f tot de derde + f tot de 4e ......)

Tot hier snap ik het! Maar waar ze dan mee aan komen zetten?

De rechterkant van deze vergelijking is een oneindige som, maar met behulp van de formule voor een meetkundige reeks kun je laten zien dat

f kwadraat + f tot de derde + f tot de 4e + ....= f kwadraat / (1-f)

Zodat we de voorgaande vergelijking kunnen schrijven als

1+ f + f² (sorry zie nu de kwadraat knopjes pas)= 2 x f² / (1-f)

waaruit volgt
f³ + 2xf² - 1=0

Die laatste afleiding snap ik wel, maar die daarvoor????
Kunnen jullie het me ajb uitleggen, want ik word er wanhopig van!

Groetjes Evelien

Evelie
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 9 september 2003

Antwoord

Begrijp ik goed dat het probleem hem zit in de formule voor de meetkundige reeks?
Ok, niet wanhopen, het komt goed.
Op onderstaande site staat uitgelegd hoe je deze formule kunt afleiden.
succes verder.
Zie reeksen

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 10 september 2003

Re: Een fractal met behulp van phi