WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Limieten

Hallo,
ik begrijp al heel veel van limieten maar met wortels heb ik altijd last, ik weet niet hoe het komt, maar ja,....
We kregen van de leraar hele reeksen met limieten, maar drie ervan snap ik niet, kun je me helpen???

1) lim ³√(x³+6x²) - x
x naar -oo
Ik vermenigvuldigde al met het toegevoegde zodat je krijgt:
lim (x²+6x-x)/√(1+6/x) +1
Maar wat moet ik dan doen???

2) lim (x²-2x)/√(3x²-x+6)-2x
x naar 2

Dit is een nul op nul geval. Dus ik zonder x af. Maar ik weet dan niet meer wat gedaan.

3)lim (³√(x+7) - √(x+3))/(x-1)
x naar 1

Dit is weer een nul op nul. Ik vermenigvuldigde de teller en noemer met het toegevoegde. Maar wat dan.

Dit waren ze. Ik weet wel de oplossing door controle met de rekenmachine.
1) lim=2

2) lim=-16/5

3) lim = -¹/₆

Hopelijk kunnen jullie me helpen. Alvast bedankt....
joske
3de graad ASO - zondag 7 september 2003

Antwoord

1) Dit is een hele lastige, die ³√ krijg je eigenlijk niet weg .....
De uitkomst is het tegengestelde van lim x$\to\infty$ ³√{x³-6x²} - x (voor het gemak). Door die ³√ werkt de worteltruc nou niet.
Het is echter wel zo dat (x³-6x²) bijna (x-2)³ is namelijk:
(x-2)³= x³-6x²+6x-8 dus x³-6x²=(x-2)³-6x+8.
Waar het nu om gaat is dat die -6x niet al te erg bijt.
Nu moet je eerst aantonen dat voor alle e$>$0 geldt:
(x-2-e)³$<$ (x-2)³-6x+8 $<$ (x-2)³ wanneer x maar groot genoeg wordt.
Insluitstelling dus (weet niet of je dat gehad hebt). De rechter ongelijkheid is triviaal, de linker is niet zo makkelijk. Een kwestie van secuur rekenen, dan moet dat ook wel gaan. Nu is het leed bijna geleden: ³√ nemen, dan moet die x er nog vanaf, uiteindelijk zal dan de uitkomst op -2 uitkomen.
Een andere oplossingsmethode is er misschien wel maar die zie ik op het moment niet.

2) Regel van L'Hopital toepassen, dan volgt het antwoord eenvoudig.

3) Zal vast ook met de regel van L'Hopital lukken.

Met vriendelijke groet

JaDeX

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 8 september 2003