WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Examensom

Dit is een reactie op vraag 13413

Hoi Anneke,

Bedankt voor je uitleg/antwoord, dat stel ik zeer op prijs, ik wilde het even hebben over die substitutieregel want dat hoorde niet tot de leerstof, maar u zei dat het dan erg lastig wordt om die primitieve te bepalen, nu heb ik met de leraar gesproken (telefonisch) en zij zegt dat men die regel wel mag gebruiken..maar ja dan moet ik wel weten hoe dat gaat. Kunt u misschien aan de hand van de functie die ik u gaf me de substitutieregel leren? Het toelatingsexamen wiskunde is al volgendeweek dinsdag, en ik weet niets van die regel af.
Timmy
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 13 augustus 2003

Antwoord

Ik zal een poging wagen.
De substitutieregel bij het integreren is een soort omgekeerde van de kettingregel van het differentieren.
vb:
f(x) = sin³(x)
f'(x) = 3·sin²(x)·cos(x)

Stel nu dat je de omgekeerde weg moet bewandelen, dus je moet de primitieve vinden van 3·sin²(x)·cos(x), dus
ò3·sin²(x)·cos(x)dx
Je substitueert dan u = sin(x).
De reden dat je deze keuze maakt is het feit dat je in de functie een kettingfunctie sin²(x) herkent, maal de afgeleide van de binnenste schakel van de ketting.
Er geldt dan: de afgeleide van u is cos(x), ofwel
du/dx = cos(x)
schrijf dit als: du = cos(x)dx, en vul dit in in de integraal, zodat alle x-en vervangen zijn door u's.
ò3·u²du = u³ + C = sin³(x) + C.
Nog een voorbeeld:
ò(x²/(x³+1))dx
substitueer u = x³+1 (omdat je ook de afgeleide van x³+1 ziet)
dan is du/dx = 3x², ofwel du = 3x²dx, dus ¹/₃du = x²dx
dus:
ò(¹/₃/u)du = ¹/₃ln(u) + C = ¹/₃ln(x³+1) + C.

Ik hoop dat je nog het een en ander aan oefeningen hierin hebt, want het vergt wel oefening om hier vaardig mee om te kunnen gaan.
succes,

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 14 augustus 2003