WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Raaklijnen en limieten

Hallo wisfaq,

De volgende sommetjes snap ik niet, ik hoop dat jullie me kunnen helpen:

1) De grafieken van de volgende functies hebben in een of meer punten een horizontale raaklijn. Bereken de x-coordinaten van die punten.En bereken de afgeleide en de extremen.

1a) f(x)= x+ 1/x (1/x is de breuk)
1b) g(x)= xe^-x

2) hoe berekent men de nulpunten van f(x)=x^p·lnx ?

3) Dan wordt er gevraagd om de lim x-- +oneindig en lim --- oneindig te bereken van:

f(x)= (2x+6)/(x-7) dan ga ik de regel van l'hopital gebruiken en krijg ik 2 als antwoordt maar dat is niet correct hoe moet het dan wel ?

Alvast bedankt voor uw antwoord
Timmy
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 3 augustus 2003

Antwoord

Hallo

1)a) f(x) = x + 1/x
Afgeleide vinden:
eerste term: 1
tweede term= -1/x²
f'(x)= 1 - 1/x²
f'(x)= (x²-1)/x²
Als de raaklijn horizontaal is bekomt de functie een extremum. Een extremum wordt bereikt als de eerste afgeleide van teken verandert.
f'(x)=(x²-1)/x² = kijken wanneer teller gelijk is aan nul (en noemer ¹ 0)
x² - 1 = 0
x² = 1
x = 1 Ú x = -1

1)b) f(x)= x·e^-x
Afgeleide vinden:
(k·g)'(a)= k'(a)·g(a) + g'(a)·k(a)
In deze oefening:
k(x) = x
k'(x) = 1
g(x)= e^-x
g'(x)= -e^-x
f'(x) = 1·e^-x - x·e^-x
f'(x) = e^-x·(1-x)
f'(x) is 0 wanneer e^-x of (1-x) nul is
e^-x is nooit gelijk aan nul
1-x = 0
x=1
Als x=1 krijgen we dus een extremum en is de raaklijn horizontaal.

2) f(x) = x^p·ln(x)
f(x) = 0 Û x^p=0 of ln(x)=0
x^p= 0 Þ x = 0 (p¹0) Maar: dan krijg je ln(0) (geeft oneindig)
ln(x)=0 Þ x=1
Nulpunt: x=1
Op het plaatje hieronder varieert p van -10 tot 10 (met dank aan km)

3) Ik weet niet niet wie je heeft verteld dat je verkeerd zat, maar de limiet is wel degelijk 2
Kijk maar naar de grafiek...

Koen

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 3 augustus 2003