WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Vergelijking

Dit is een reactie op vraag 13159

Hartstikke bedankt voor je antwoord.
Ik kon weer even verder totdat de volgende vraag kwam:

Bereken de afgeleide van x² - 4x √x + 4x en zijn nulpunten.
Ik heb al van alles geprobeerd maar door die wortel kom ik er steeds niet uit. Zou je me nog een keer kunnen helpen?

Angela
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 21 juli 2003

Antwoord

Je weet de afgeleide van -bijv- x¹⁰⁰. Dat is 100.x⁹⁹
Wat je doet is dat je de exponent (de 100 in dit geval) naar voren haalt, en dat je de exponent-zelf met 1 vermindert.

Wat nou als je een ^gebroken^ exponent hebt?
Bijvoorbeeld f(x)=√x is hetzelfde als x^1/2.

Dan nog geldt hetzelfde: haal de exponent (in dit geval de ¹/₂) naar voren en verminder de exponent met 1.
Zodoende is de afgeleide van x^1/2 gelijk aan
¹/₂.x^-1/2

Nu jouw functie:
f(x)=x² -4x√x + 4x
· Het stukje x² kun je vast wel differentieren: 2x

· het stukje -4x√x is het lastigste. Dit kun je schrijven als -4.x¹.x^1/2
= -4.x^3/2
(want je kent de rekenregel x^a.x^b=x^a+b)
-4.x^3/2 differentieren levert:
-4.(3/2).x^1/2 = (-12/2).x^1/2
= -6.√x

· het laatste stukje, 4x, is weer een makkie: 4

dus de afgeleide is
2x - 6√x + 4

Nu nog de nulpunten van de afgeleide:
2x - 6√x + 4 = 0 $\Leftrightarrow$
2x + 4 = 6√x $\Leftrightarrow$
4x² + 16x + 16 = 36x $\Leftrightarrow$
x² + 8x +8 = 18x $\Leftrightarrow$
x² -10x +8 = 0

Deze laatste handel je af mbv de onvolprezen abc-formule, en alleen de oplossingen x$\geq$0 voldoen.

groetjes,
martijn

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 21 juli 2003