WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Integreren en differentieren

Hallo wisfaq,

ik doe zelfstudie en snap de volgende oefeningen niet, het antwoordenboek bied ook niet echt een antwoord die ik begrijp,omdat ze alleen het eindantwoord geven, kunnen jullie deze in stapjes laten zien ?

1) Geg: f(x)= x.ln(x) (x0)

a)gevr: Bepaal het nulpunt van deze functie en maak een tekenoverzicht.
b)Differentieer de functie en maak een tekenoverzicht van de afgeleide.

2) Primitiveer:

a) (x³+1)/(x⁴+4x)

b) (x+2)/(x²+1) = x/(x²+1)+ 2/(x²+1) (weet ik)

Bijvoorbaat dank voor uw antwoord.

Timmy
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 13 juli 2003

Antwoord

1) f:=x-x·ln(x)
a)
Er staat al bij dat x0 moet zijn. Dit omdat ln(x) enkel gedefinieerd is voor waarden van x die groter zijn dan nul.

Nulpunten:
Een product is nul als en slechts als één of meer van de factoren nul zijn.
Wanneer is x = 0. Als x=0 natuurlijk. Maar dat is uitgesloten want x is 0 ondersteld.
Wanneer is ln(x)=0. Dan is zo als exp(0)=x=1
Dus voor x=1 heeft f(x)de waarden 0.

Nu de tekens. Je weet dat ln(x) voor 0x1 waarden heeft 0
voor 1x heeft ln(x) waarden 0
x is over heel de lijn positief.

Dus x·ln(x)0 voor 0x1
x·ln(x)0 voor x1

b)Om een product af te leiden gebruik je hetvolgende:
f(x) is hier onze functie. Deze is een product van twee andere functies.
Stel:
h(x)=x
g(x)=ln(x)
= f(x)=h(x)·g(x)

De afgeleide van f(x)=f'(x)=h'(x)·g(x) + g'(x)·h(x)

Dus als het ware ga je bij je product eerst de eerste factor afleiden en de tweede laten staan, daarna de tweede factor afleiden en de eerste laten staan. De twee resultaten tel je op.
Het resultaat:
h'(x)=1
g'(x)=1/x
=f'(x)=1·ln(x) + 1/x · x
=ln(x)+1

De nulpunten van deze afgeleide:
ln(x)=-1
x=e^-1
=1/e

Als x1/e dan wordt de ln(x) ook groter want ln is strikt stijgend.
Dus f'(x)0 voor 0x1/e
f'(x)0 voor 1/ex

2)
a)Je ziet dat de teller gelijk is aan 1/4 van de afgeleide van de noemer.Dus 1/4*D(x⁴+4x)=x³+1
Dus ò(x³+1)/(x⁴+4x) dx
=1/4·òd(x⁴+4x)/(x⁴+4x)
=1/4·ln(x⁴+4x)

b)ò x/(x²+1)+ 2/(x²+1) dx
=1/2·òd(x²+1)/(x²+1) + 2· Bgtan(x)
=1/2·ln(x²+1)+2·Bgtan(x)

Koen Mahieu

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 13 juli 2003