WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Veeltermfunctie

Hallo,
Het is 4 jaar geleden dat ik de laatste keer met wiskunde te maken had, kunt u me a.u.b. herinneren hoe ik zoiets moet oplossen: y=2x⁴-4x³-13x²-6x-24.

Nog een vraag: wat is de algemene methode bij het werken met bvb. y=6ac.x³ + 4bc.x² + 9ad.x + 6bd.
er is gevraagd welke van de volgonde beweringen over de veeltermfunctie is niet juist:
A) als a=0 en bcd$\ne$0 dan heeft de veeltermfunctie hoogstens 2 nulpunten.
B) als 2c+3d=0 dan heeft de veeltermfunctie +1 en -1 als nulpunten.
C) als cd$>$0 dan heeft de veeltermfunctie 2 tegengestelde nulpunten.
D) als a=2 dan heeft de veeltermfunctie -b/3 als nulpunt.
Helpt u me a.u.b.
karina
Student universiteit - vrijdag 11 juli 2003

Antwoord

Hallo Karina,

Wat die tweede vraag betreft: echt iets als een algemene methode bestaat hier niet, 't is gewoon wat kijken wat er gegeven is en beginnen redeneren.

A) als a=0 en b, c, d niet nul, dan krijg je dat
y = 4bcx² + 6bd. Dat is een tweedegraadsveelterm, het is niet de nulveelterm want b, c, d zijn niet nul, dus die heeft hoogstens 2 oplossingen, dat is dus correct.

B) vervang overal 2c door -3d, en vul x=1 in, en kijk of het nul wordt: y = -9ad -6bd +9ad + 6bd = 0. Vul ook eens -1 in en je zal zien dat ook -1 een nulpunt is.
D) is op juist dezelfde manier na te gaan: vul a=2 in, en voor x vul je -b/3 in, en je controleert of y dan nul wordt.
Dus: 12c(-b/3)³ + 4bc(-b/3)² + 18d(-b/3) + 6bd = 0.

C) zal dus wel niet juist zijn. En inderdaad: als je wil dat er twee tegengestelde nulpunten zijn, moet je veelterm deelbaar zijn door x-p en door x+p voor een bepaalde p. Dus moet de veelterm deelbaar zijn door x²-p². Wel, je kan die deling uitvoeren (dat is een gewone staartdeling of Euclidische deling, maar dan met veeltermen). Als je dat doet, moet je quotiënt een lineaire term worden, en de rest moet nul zijn. En nu blijkt dat dit laatste onmogelijk is als c en d hetzelfde teken hebben.

En dan die eerste vraag: ik neem aan dat je de nulpunten van die veelterm wil? In dat geval moet je kijken naar je constante term (hier -24) en voor de delers van deze term moet je kijken of ze een nulpunt zijn (dus hier ±1,±2,±3,±4,±6,±8,±12,±24) Al vrij snel zal je twee nulpunten tegenkomen. Als dat a en b zijn, dan deel je de veelterm door x-a, en dat resultaat deel je door x-b, en dan krijg je een tweedegraadsveelterm die geen reële wortels meer oplevert.

Deze methode, met het gokken op de delers van de constante term, levert je alleen de gehele wortels op, dus je bent niet zeker van succes.

Er bestaan wel algemene formules om de wortels van een vierdegraadsveelterm te vinden (formules van Ferrari), maar die zijn nogal omslachtig (en dat is dan nog zacht uitgedrukt).

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 11 juli 2003